已知数列{an]满足:a1=3,an=a(n-1)+2^(n-1)(n≥2,n∈N※) (1)求数列{an}的通项公式 及前n项和Sn

Question

（2）令bn=1/an*a(n+1) Tn=b1+2b2+……+2^（n-1）bn(n∈N*) 求证
Tn<1/6(n∈N*)

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Answer 1

解：（1）∵an=a(n-1)+2^(n-1)
∴a(n-1)=a(n-2)+2^(n-2)
................
a2=a1+2^1
∴上述等式叠加可得：an=a1+(2^1+2^2+...+2^(n-1))
∵a1=3，∴an=3+2(2^(n-1)-1)=1+2^n
∴Sn=n+(2^1+2^2+...+2^n)=n+2(2^n-1)=2^(n+1)+n-2
（2）∵bn=1/an*a(n+1)=1/[(1+2^n)(1+2^(n+1))]
∴2^(n-1)bn=2^(n-1)/[(1+2^n)(1+2^(n+1))]=1/2(1/(1+2^n)-1/(1+2^(n+1)))
∴Tn=1/2(1/(1+2^1)-1/(1+2^2)+1/(1+2^2)-1/(1+2^3)+...+1/(1+2^n)-1/(1+2^(n+1)))
=1/2(1/(1+2^1)-1/(1+2^(n+1)))
=1/6-1/2*1/(1+2^(n+1))
∵1/2*1/(1+2^(n+1))>0，∴Tn<1/6
（码字幸苦！望采纳！）

Answer 2

解：
1.
a2=a1+2
a2-a1=2

an=a(n-1)+2^(n-1)
an -a(n-1)=2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)
…………
a3-a2=2²
a2-a1=2
累加
an -a1=2+2²+2³+...+2^(n-1)
an=a1+2+2²+2³+...+2^(n-1)
=3+2+2²+2³+...+2^(n-1)
=2+1+2+2²+2³+...+2^(n-1)
=2+1×(2ⁿ-1)/(2-1)
=2ⁿ+1
n=1时，a1=2+1=3，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ+1
2.
bn=1/[ana(n+1)]
2^(n-1)×bn=[(1/2)×2ⁿ]/[(2ⁿ+1)(2^(n+1)+1)]
=(1/2)[1/(2ⁿ+1) -1/(2^(n+1)+1)]
Tn=b1+2b2+...+2^(n-1)bn
=(1/2)[1/(2+1)-1/(2²+1)+1/(2²+1)-1/(2³+1)+...+1/(2ⁿ+1)-1/(2^(n+1)+1) ]
=(1/2)[1/3 -1/(2^(n+1)+1]
=1/6 -1/[2×(2^(n+1)+1)]
<1/6-0
=1/6
Tn<1/6，不等式成立。