关于洛必达法则适用条件

Question

1.这些家伙到底都代表什么。如果可以的话，麻烦举例。
2.这些家伙怎么转化成零比零型或者是无穷大比无穷大型。

求解！！！！！谢谢！

Answer 1

在大学《高等数学》的学习过程中我们学习了求极限、微分以及积分。其中有一个洛必达法则，就是指在一定的条件下，通过分别求分子的导和分母的导最后再来求解极限以确定不知道极限的式子的值。洛必达法则不是可以随便用的，用它有一定的限制条件。那么洛必达法则的使用条件是什么?看分子和分母能不能求导，并且看它们是不是趋于零或无穷大。

洛必达法则是用来求解一些关于极限问题的经常用的方法之一。首先，在运用时，我们必须要记住它的使用条件，看分子和分母的极限是不是都趋近于零或者是无穷大，看分子和分母在一定的区域内是不是可以进行求导的。我们在求解过程中，如果发现这两个条件都是满足的，接下来就可以进行第三步。对分支分母同时求导，看求导后它们还存不存在极限，如果存在，求导后的极限就是我们所要求解的值，如果不存在，那么说明这个式子不适合用洛必达法则求解。

在中学的时候，我们也学过一些求极限的方法，但在这些都比较麻烦。学习是一个慢慢积累的过程，到了大学我们学习到了更深层次的知识，这时候用来求解一些问题就比较简单了。比如洛必达法则，只要我们能够了解它的使用条件在求解一些极限的问题是时就显得非常的简单了。

我们在用洛必达法则求解一些极限问题的时候必须要注意几个问题。要先看看式子是不是满足零分之零型，如果不是，这时候我们便不能使用洛必达法则，需要用其他的方法来求解这个问题。我们不能乱用洛必达法则，否则是会出现很多的错误的。一定要了解它的使用条件和一些需要注意的问题。

Answer 2

关于洛必达法则适用条件。
解：在求取函数的极限时，洛必达法则是一个强有力的工具；但洛必达法则只适用于0/0和∞/∞
两种情况。·

①0/0型：
例：x➔0lim(tanx-x)/(x-sinx)【这就是所谓的0/0型，因为x➔0时，分子(tanx-x)➔0，分母x-sinx➔0】
=x➔0lim(tanx-x)′/(x-sinx)′=x➔0lim(sec²x-1)/(1-cosx)=x➔0limtan²x/(1-cosx)【还是0/0型，继续用
洛必达】=x➔0lim[(2tanxsec²x)/sinx]=x➔0lim(2sec³x)=2
②∞/∞型
例：x➔(π/2)lim[(tanx)/(tan3x)]【x➔(π/2)时tanx➔+∞，tan3x➔-∞，故是∞/∞型】
=x➔(π/2)lim[(tanx)′/(tan3x)′]=x➔(π/2)lim[(sec²x)/(3sec²3x)]=x➔(π/2)lim[(cos²3x)/3cos²x]【0/0型】
=x➔(π/2)lim(-6cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x➔(π/2)lim[(sin6x)/(sin2x)]【还是0/0型】
=x➔(π/2)lim[(6cos6x)/(2cos2x)]=-5/(-2)=3
③0▪∞型，这种情况不能直接用洛必达，要化成0/(1/∞)或∞/(1/0)才能用。
例：x➔0+lim(xlnx)【x➔0+时，lnx➔-∞，故是0▪∞型】
=x➔0+lim[(lnx)/(1/x)]【x➔0+时(1/x)➔+∞，故变成了∞/∞型】
=x➔0+lim[(1/x)/(-1/x²)]=x➔0+lim(-x)=0
④1^∞型，1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞▪ln1)=e^(∞▪0)

例：x➔0lim(1+mx)^(1/x)=x➔0lime^[(1/x)ln(1+mx)]【e的指数是0/0型，可在指数上用洛必达】

=x➔0lime^[m/(1+mx)]=e^m
⑤∞°型，∞°=e^(ln∞°)=e^(0▪ln∞)
例：x➔∞limm[x^(1/x)]=x➔∞lime^[(1/x)lnx]【e的指数是∞/∞型，可在指数上用洛必达】
=x➔∞lime^[(1/x)/1]=x➔∞lime^(1/x)°=e°=1
⑥0°型，0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0▪∞)
例：x➔0lim(x^x)=x➔0lime^(xlnx)=e
⑦∞－∞型，∞－∞=[1/(1/∞)-1/(1/∞)]=[(1/∞)-(1/∞)]/[(1/∞)(1/∞)=0/0]
例：x➔1lim[1/(lnx)-1/(x-1)]=x➔1lim[(x-1-lnx)]/[(x-1)lnx]【这就成了0/0型】
=x➔1lim[1-(1/x)]/[lnx+(x-1)/x]=x➔1lim[(x-1)/(xlnx+x-1)]【还是0/0型】
=x➔1lim[1/(lnx+1+1)]=1/2本回答被提问者采纳

Answer 3