概率论问题,X与Y独立都服从（0,1）均匀分布，怎么求x+y与x-y的概率密度？

Question

我怎么求出的是服从均匀分布的呢？用的是卷积公式

Answer 1

Fz(z)=P(Z<=z)=P(X-Y<=z)=∫∫f(x,y)dxdy
积分区域是D={(x,y)|x-y<=z}
f(x,y)=fx(x)×fy(y)为x、y联合概率分布。（因为独立，所以可以直接乘）
算出来就是分布Fz(z)。求导后就是密度了fz(z)。

同样U=X+Y一个道理。
如果学过积分变换，可以很快算出来，当X、Y独立时,U=X+Y的密度可以直接写成
fu(u)=fx(x)*fy(y)这里的*不是乘，是表示两个函数的卷积。追问

fu(u)=fx(u-y)*fy(y) 然后怎么求呢？

追答

卷积是fu(u)=∫fx(u-y)*fy(y)dy
才对吧。算出卷积之后就是u=x+y的密度函数fu(u)了呀。

你要是不熟悉卷积怎么算，用上面第一个方法老老实实做就行了。这个只是一个z=z(x,y)的特例罢了。

追问

第一种方法，我算出来，z=x-y，0<x<1,0<y<1, -1<z<1,积分区域是不是应该是分俩部分？用卷积公式，积分限怎么确定？能具体计算一下吗？谢谢！

追答

第一种方法积分区域要把z看成是常数。在xOy平面进行积分。
卷积公式的积分上下限是负无穷到正无穷。