证明不等式x/(1+x方)小于arctanx小于x,其中x大于0

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第1个回答 2022-08-19

设函数f（x）1=x/(1+x方)
f（x）2=arctanx
f（x）3=x
求导,结合x＞0易知上述三个函数的导数依次递增；
当x=0时上述三个函数值相等,结合导数依次递增；
易知结论；

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当x>0时,x/1+x^2<arctanx<x。用拉格朗日中值定理证明此不定式答：即1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1;且x>0,即上式乘以x,得 x/(1+x^2)<x/(1+ξ^2)<x 以(*)代入，得 x/(1+x^2)<arctanx<x,即原不等式得证。

用罗儿定理证明:当x>0时,成立不等式x/1+x^2<arctanx<x答：即1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1;且x>0,即上式乘以x,得 x/(1+x^2)<x/(1+ξ^2)<x 以(*)代入，得 x/(1+x^2)<arctanx<x,即原不等式得证。

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