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证明不等式x/(1+x方)小于arctanx小于x,其中x大于0
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第1个回答 2010-11-09
设函数f(x)1=x/(1+x方)
f(x)2=arctanx
f(x)3=x
求导,结合x>0易知上述三个函数的导数依次递增;
当x=0时上述三个函数值相等,结合导数依次递增;
易知结论;
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证明不等式x
/
(1+x方)小于arctanx小于x,其中x大于0
答:
设函数f(
x)
1=x/
(1+x方)
f(x)2=
arctanx
f(x)3=x 求导,结合x>0易知上述三个函数的导数依次递增;当x=0时上述三个函数值相等,结合导数依次递增;易知结论;
当x>
0
时
,x
/
1+x
^2<
arctanx
<x。用拉格朗日中值定理
证明
此不定式
答:
即1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1;且x>0,即上式乘以x,得 x/(1+x^2)<x/(1+ξ^2)<x 以(*)代入,得 x/(1+x^2)<arctanx<x,即原
不等式
得证。
用罗儿定理
证明
:当x>
0
时,成立
不等式x
/
1+x
^2<
arctanx
<x
答:
即1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1;且x>0,即上式乘以x,得 x/(1+x^2)<x/(1+ξ^2)<x 以(*)代入,得 x/(1+x^2)<arctanx<x,即原
不等式
得证。
证明
:当x>
0
时,成立
不等式x
/
1+x
^2<
arctanx
<x
答:
证明:当x>0时,成立
不等式x
/
(1+x
178;)<arctanx<x
证明
:设y=x/(1+x²)-
arctanx,
由于y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²-1/(1+x²)=(1-x²)/(1+x²)²-1/(1+x²)=[(1-x²)-(1+x²)]/(1+x...
试证
不等式,
当x≥
0
时
,arctanx
≤x
答:
f(x)=
arctanx
-x f'(x)=1/
(1+x
178;)-1=-x²/(1+x²)所以显然f'(x)≤0 f(x)递减 因为f(0)=0-0=0 所以x≥0则f(x)≤0 所以x≥0时arctanx≤x
利用单调性
证明不等式arctanx
/x<
1,(x
≠
0)
答:
f(0)=0,g(0)=0 f'(x)=1/
(1+x&
sup2;)>0,g'(x)=1>0 f'(x)-g'(x)=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)≤0 即f'(x)≤g'(x)因为[0,+∞)上f(x)与g(x)单调递增且f'(x)≤g'(x)所以x>arctan(x)则
arctanx
/x<1恒成立 参考资料:仅供参考,谢谢 ...
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