对数平均不等式的证明是什么？

Question

如题所述

Answer 1

对数均值不等式的证明如下：

设f(x)=e^(x-1)– x，f’(x)=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1)。

f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。

f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0。

所以e^(x-1) ≥ x。

(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )。

=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n ≤ 1。

即(x1*x2*x3*…*xn) ≤ a^n。

相关内容解释：

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。