高等代数理论基础7：重因式

如题所述

第1个回答 2022-06-21

定义：给定不可约多项式p(x),若 ,则称p(x)为f(x)的k重因式

若k=0,则p(x)不是f(x)的因式,若k=1,则称p(x)为f(x)的单因式,若 ,则称p(x)为f(x)的重因式

定理：若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式 ,则p(x)是f(x)的微商f'(x)的k-1重因式

证明：

推论1：若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式 ,则p(x)是的因式,但不是的因式

可对k作数学归纳法证明

推论2：给定不可约多项式p(x),p(x)是f(x)的重因式 p(x)是f(x)与f'(x)的公因式

证明：

推论3：多项式f(x)没有重因式 (f(x),f'(x))=1

设f(x)有标准分解式

则f(x)与f'(x)的最大公因式具有标准分解式

上式与f(x)具有相同的不可约因式但无重因式

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