请问老师两个矩阵合同可以得出那些结论，和两个矩阵相似得出的结论一样吗？

Question

如题所述

Answer 1

结论：当两个矩阵合同时，可以得出一系列重要的结论，这些结论同样适用于两个矩阵相似的情况。以下是它们共同的特点：

1. 合同矩阵和相似矩阵的正负惯性指数是相同的，这意味着它们在对角化后的矩阵中，非对角线元素的正负次数相等。

2. 它们的秩也相同，秩是矩阵行（列）秩的最大值，反映了矩阵的秩特性。

3. 特征值和行列式是合同矩阵的共享属性，这表明它们在特征值分解中表现出一致的线性变换性质。

4. 合同矩阵的主对角线元素之和相等，这反映了它们在不同坐标系下的线性变换效果是等效的。

进一步说明，如果矩阵A和B相似，那么它们满足以下关系：

- A的特征值等于B的特征值，秩和行列式相等，即|A|=|B|。

- 它们的迹（迹为对角线元素之和）tr(A)=tr(B)。

- 任何一次幂也保持相似，即A^k~B^k。

- 可逆性方面，如果两者都可逆，它们的逆矩阵也相似，即A^-1~B^-1。

总之，矩阵合同和相似都揭示了它们在基本性质上的高度一致性，无论是线性变换的表示、特征值的描述还是矩阵运算的结果。