如何用拉格朗日中值定理证明e^x大于等于ex?

Question

如题所述

Answer 1

用拉格朗日中值定理证明e^x大于等于ex的方法如下：

令f(x)=e^x-x-1f(x)满足拉格朗日中值定理。

f(0)=0。

f(x)-f(0)=f'(ξ)x。

f'(x)=e^x-1当x>=0时，f'(x)>=0。

e^x大于等于ex问题得证。

当x<0时，e^x大于等于ex。

e^x大于等于ex问题得证。

注意事项：

该定理给出了导函数连续的一个充分条件。注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。

函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。