第1个回答 2023-03-15
22.(II).f(x)=x|x-a|-x+b=x(x-a)-x+b=x^2-(a+1)x+b=[x-(a+1)/2]^2-[(a+1)/2]^2+b(x≥a);x(a-x)-x+b=-x^2+(a-1)x+b=-[x-(a-1)/2]^2+[(a-1)/2]^2+b(x<a)。这是关于x的分段二次函数，为分类讨论，需考虑以下要求产生的节点：(a+1)/2≥a，即a≤1;(a-1)/2<a,即a>-1；(a+1)/2∈[1,3],即a∈[1,5],(a-1)/2∈[1,3],即a∈[3,7],一、a∈(-1,1]时，要存在b∈R,使得对任意x∈[1,3],都有|f(x)|≤2,必须且只需①-2≤f(1)=b-a≤2,-2≤f(3)=3(3-a)-3+b≤2,依次变为a-2≤b≤a+2,3a-8≤b≤3a-4,它们表示平行四边形的边界及内部，其顶点依次为(3,1),(1,-1),(3,5),(5,7),与区域-1<a≤1只有一个公共点a=1,b=-1.二、a∈(1,3]时①化为-[(a+1)/2]^2+b≥-2，|1-a|-1+b≤2,3|3-a|-3+b≤2,依次变为b≥[(a+1)/2]^2-2,b≤4-a,b≤3a-4,它表示曲边△ABC,其中A(2,2),B(1,-1),C(4√2-3,7-4√2),这里1<a≤4√2-3.三、a∈(3,7]时①化为[(a-1)/2]^2+b≤2，-2≤|1-a|-1+b，-2≤3|3-a|-3+b，即b≤2-[(a-1)/2]^2,-a≤b,10-3a≤b,它表示曲边△A1B1C1,其中A1(5,-5),B1(3,1),C1(7,-7).这里3<a≤7.四、a∈(7,+∞）时①化为-2≤|1-a|-1+b≤2,-2≤3|3-a|-3+b≤2，即-a≤b≤4-a,10-3a≤b≤14-3a,它们表示平行四边形的边界及内部，其顶点依次为(5,-5),(7,-7),(3,1),(5,-1),与a>7无公共点。五、a≤-1时①化为-2≤|1-a|-1+b≤2,-2≤3|3-a|-3+b≤2，即a-2≤b≤a+2,3a-8≤b≤3a-4,它们表示平行四边形的边界及内部，其顶点依次为(3,1),(1,-1),(3,5),(5,7),与a≤-1无公共点。综上，1≤a≤4√2-3或3<a≤7，为所求。仅供参考。