微分方程的通解详细步骤如下：
1、求解齐次微分方程的通解。这里的齐次微分方程是指将非齐次方程中的所有常数项和已知函数项都归为零，得到的方程。求解齐次微分方程的通解需要将方程化为标准形式，然后使用常数变易法来求解其通解。
2、求解非齐次微分方程的一个特解。此时，需要根据非齐次项的类型，选择相应的求解方法，例如常数变易法、待定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换等方法。
3、将所求得的特解代入齐次微分方程的通解中，得到非齐次微分方程的一个特解。
4、将齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的一个特解组合起来，得到非齐次微分方程的通解。
微分方程求通解的方法
一、将微分方程化为常微分方程
1、首先将非齐次微分方程变为齐次微分方程，如果不是齐次微分方程，可以用拉格朗日-更多项展开法，将常数项展开为几次微分方程。
2、将齐次微分方程化为常微分方程，将次数不同的项看做是不同的函数将次数相同的项综合后当做一个函数，将微分方程左右两端都用相同的函数表示，然后用积分法解常微分方程。
二、积分方法求解
1、将常微分方程化为原函数或者微分函数的综合，将其分解成若干个解微分方程的不定积分，求出不定积分的积分常数，然后将不定积分求出原函数，从而求得本题的解。
2、引入初值条件，通过初值条件可以求出积分常数的值，从而求出微分方程的解。
三、特征方程求解
1、将微分方程视为特征方程，先计算特征方程的特征根，使得特征方程的特征根构成一个一阶线性完全定状态系统，得到系统演化方程。
2、根据特征根的不同，将特征方程划分为三种情况，一般特征方程、二次重根特征方程和根为0的特征方程，然后分别计算出演化方程的解。
四、拉普拉斯变换法求通解
将微分方程利用拉普拉斯变换变换为线性的常微分方程，求解其解，再将拉普拉斯变换的变量进行不定积分，求得拉普拉斯变换的原函数，从而求出本题的解。