求㏑x从0到1的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

详细做给你看吧~
分部积分法的形式是∫ vu' dx = ∫ vdu = uv - ∫ udv = uv - ∫ uv' dx
其中，v是比u更复杂的积分，所以留下，把u先积分，后来反过来把v微分简化
在这里，lnx比x较复杂
所以令v = lnx，u = x，dv = (lnx)'dx = (1/x)dx，du = (x')dx = (1)dx = dx，代入上面得到：
∫ lnx dx
= ∫ (lnx) * (x') dx = ∫ (lnx) dx
= (x)(lnx) - ∫ (x) * (lnx)' dx
= xlnx - ∫ x * (1/x) dx
= xlnx - ∫ dx
= xlnx - x + C
∫(0~1) lnx dx
= [xlnx - x] |(0~1)
= lim(x-->1) (xlnx - x) - lim(x-->0) (xlnx - x)
= [(1)ln(1) - 1] - lim(x-->0) ln(x^x) + 0
= - 1 - lim(x-->0) ln(x^x)，事实上lim(x-->0) x^x = 1
= - 1 - ln(1)
= - 1

求lim(x-->0) x^x ：
y = x^x
lny = xlnx = (lnx)/(1/x) ┏洛必达法则，分子和分母分别求导┓
lim(x-->0) lny = lim(x-->0) (lnx)/(1/x) = lim(x-->0) (1/x)/(-1/x²) = lim(x-->0) (- x) = 0
==> lny = 0 ==> y = 1
∴lim(x-->0) x^x = 1

Answer 2

我觉得你的问题有点小小的描述错误，㏑x从0到1的积分称为定积分
此题的本质就是求导数为lnx的原函数
公式：∫lnxdx=xlnx-x+C
令F(x)=∫lnxdx=xlnx-x+C
此题就化简为求F(1)-F(0)的值追问

这是不定积分吧？在0处无意义，所以去一个接近于0的数求不对吗？

追答

没仔细看题，这个是广义积分

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Answer 3

∫[0,1]lnxdx
=xlnx[0,1]-∫[0,1]dx
=-1追问

有点看不懂能详细的额说一下吗？

追答

？我没说清楚吗？

追问

实话说我有点看不懂，给我个思路

追答

这个是分步积分呀