线性代数~~~关于用配方法将二次型化为标准型的做题困惑。

Question

(1) f(x1,x2,x3)=4*x1*x2+2*x2*x3
(2) f(x1,x2,x3)=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x1-x3)^2

第一个问题，式子里面没有平方项，我另设x1=y1+y2，x2=y1-y2，x3=y3。得到f=1/4*(4*y1+y3)^2-1/4*(4*y2+y3)^2 进行到这里我感觉没办法往下进行了，这里只有两个平方项了。同样的，第二个问题我也是化到f=2*(x1-1/2*x2-1/2*x3)^2+3/2(x2-x3)^2 就没办法往下进行了。

求助啊。是不是我哪里没有理解正确呢？

Answer 1

(1)

此时令
z1 = 4*y1+y3

z2 = 4*y2+y3

z3 = y3
(2)
此时 令
y1=x1-1/2*x2-1/2*x3

y2=x2-x3

y3=x3

没有核对你计算的对错, 只是说一下处理方法哈追问

直接另z3=y3的依据是什么？可以写成别的比如z3=y2 或者z3=y1这种形式吗？

追答

这样可比较容易地得出
y3 = z3
y2 = (1/4)(z2-z2)
y1 = (1/4)(z1-z3)
也就是说 变换是可逆的
你说的两个也可以, 但必须保证变换矩阵可逆