抛物线C：x 2 = 4y ,直线 L: y = - 1 . （ 1）若N（x0 ,y0）为C上任意一点，求以N 为切点的C的切

Question

抛物线C：x 2 = 4y ,直线 L: y = - 1 . （ 1）若N（x0 ,y0）为C上任意一点，求以N　为切点的C的切线；（2）设A、B 是C 上异于0（0,0）的不同两点，M是L上任意一点，且MA、MB都与C相切，求证：直线AB过定点。

Answer 1

解：
(1) 抛物线方程可变换为：y=x²/4 ==>y'(x) = x/2
因此过点N(x0,y0) 的切线斜率为 k=y'(x0) = x0/2;
以N为切点的C的切线方程为：
y-y0 = x0/2 *(x-x0) ==> y = x0/2 *x + (y0-x0²/2)
(2) 由已知，设M 坐标为 M(a, -1)；两切点坐标为A(x1,y1), B(x2, y2)
切点坐标应满足抛物线方程且与点M的连线斜率等于切点斜率，得方程组
y=x²/4 -- ①
(y+1)/(x-a) = y' =x/2
==> y = x²/2 - a*x/2 -1 -- ②
由① 得 x² =4y 代入 ② 得：
y = 4y/2 - a*x/2 -1
y -1 = a/2 *(x-0) -- ③
∵ A, B坐标是方程组①②的解
∴ A, B坐标都满足方程③，即该方程就是直线AB方程
由方程可以看出，直线AB 过定点（0，1）

Answer 2

C的解析式是什么？
x^2=4y?追问

C的解析式是x^2=4y