曲线y=x^2+1上点p处的切线与曲线y=-2x^2-1也相切，求点P的坐标

Question

要详细的过程

Answer 1

f(x)=x^2+1 g(x)=-2x^2-1
f'(x)=2x
g'(x)=-4x
f'(x)=g'(x)
2x=-4x
x=0
y=1
p(0,1)追问

很标准的错误答案！导数虽然是斜率，导数不能像斜率一样计算！总之这样算是错的！

追答

导数就是斜率没错 解中错在2x=-4x 两切点的不同应为2x1=-4x2
设直线为y=kx+b 与y=-2x^2-1切于Q(x2,y2)=(x2,-2(x2)^2-1) P(x1,y1)=(x1,(x1)^2+1)
联立y=kx+b和y=x^2+1
x^2-kx-b+1=0 P为切点 只一个解 判别式(-k)^2-4(1-b)=0
用P和Q求直线
(y+2(x2)^2+1)/((x1)^2+1+2(x2)^2+1)=(x-x2)/(x1-x2)
将x2=-x1/2 代入并化简
y=((3(x1)^2+4)/(3x1))*x-1/3
k=((3(x1)^2+4)/(3x1)) b=-1/3
(-k)^2=4(1-b)
((3(x1)^2+4)/(3x1))^2=4(1+1/3)
(3(x1)^2+4)/(3x1))=±4/3^0.5
3(x1)^2+4=±12 x1/3^0.5
(3^0.5x1)^2±4*3^0.5 x1+4=0
(3^0.5x1±2)=0
x1=±2/3^0.5
y1=7/3

Answer 2

解：设P（x0,y0),则y0=x0^2+1 f`(x)=lim△X→0（x0+△X）^2+1-(x0^2+1)/△X=2X0 所以过点P的切线方程为y-y0=2x0(x-x0) 即y=2x0x+1-x0^2 而此直线与曲线y=-2x^2-1相切，所以切线与曲线y=-2x^2-1只有一个公共点 由y=2x0x+1-x0^2与y=-2x^2-1得2x^2+2x0x+2-x0^2=0 即△=4x0^2-8(2-x0^2)=0 解得xo=±2根号3/3,y0=7/3.所以点P的坐标为（±2根号3/3，7/3）