矩阵AB=0 ，行列式AB=0 吗？

Question

如题所述

Answer 1

首先讨论一个矩阵X的行列式的话
X必须是方阵
只有X为方阵是才有行列式

矩阵AB=0
它是零矩阵
eg：AB＝0＝（0 0）
　0 0
行列式 |AB| 当然等于零呀

但是行列式 |AB| = 0，矩阵AB不一定为零
eg：AB＝（0 0）
0 1
行列式 |AB| = 0

简言之，矩阵C=0是行列式 |C| =0的充分不必要条件

BTW，
仅仅说如果 |AB| = 0，则 |A|=0 or |B|=0，是不严谨的
如开篇所说，
A、B都是方阵的时候，命题才成立，
如果说A为n*m矩阵，B为m*n矩阵，
就算 |AB| = 0，
讨论 |A| 和|B| 是没有意义的
另外
如二楼所说
A、B为同阶方阵时，|AB| = |A| * |B| ①
就不难理解
A、B为同阶方阵时，如果 |AB| = 0，则 |A|=0 or |B|=0

至于等式①的证明
比较难打，基本思路就是矩阵乘法可以看作是做一系列初等变换
如A*B，可以看作是A按照B做一系列初等变换
至于初等（行、列）变化有三种
可以分别检验A做一次初等变换，行列式不变，
一次不变，一系列初等变换当然不变
如此可以得出证明

需要详细证明可以追问一下

Answer 2

不是
矩阵和行列式是两个概念
行列式是值和代数式
矩阵是数量关系表追问

为什么矩阵AB=0，可以推出A的行列式=0或者B的行列式=0

追答

不对吧
A= -1 1
B= 1
1
AB=0 但不可以推出A的行列式=0或者B的行列式=0

追问

AB为N阶矩阵。。。。

追答

是这样的啊！这就对了，我刚才证明了二阶的，对应成比例，行列式值为0，是的！

追问

啊？为什么啊~~A和B为N阶矩阵。。AB=0，怎么就推出A的行列式=0或者B的行列式=0

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Answer 3

是
行列式有一条性质 IAIIBI=IABI 如果你知道的话就简单啦
矩阵AB=0，两边取行列式得 IABI=0由上面性质知IABI=IAIIBI=0

Answer 4

这个不对吧。。。应该是行列式AB=0 可以推出A的行列式或B的行列式为0

Answer 5

因为对于n阶矩阵，有|A|*|B|=|AB|