什么是反比例函数

Question

如题所述

Answer 1

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。

目录

反比例函数定义
反比例函数表达式
自变量的取值范围
反比例函数图象
k的意义及应用
反比例函数性质单调性
相交性
面积
图像
对称性
与正比例函数交点
反比例函数的应用举例
画法
典型题目反比例函数定义
反比例函数表达式
自变量的取值范围
反比例函数图象
k的意义及应用
反比例函数性质 单调性
相交性
面积
图像
对称性
与正比例函数交点
反比例函数的应用举例
画法
典型题目展开 编辑本段反比例函数定义
　　函数y=k/x（k为常数且k≠0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。
编辑本段反比例函数表达式
　　X是自变量，Y是X的函数 　　y=k/x=k·1/x 　　xy=k 　　y=k·x^（-1） （即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方） 　　y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0） 　　若y=k/nx此时比例系数为：k/n
编辑本段自变量的取值范围
　　① k ≠ 0； ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数；③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。 　　解析式　y=k/x 其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数 　　y=k/x=k·1/x 　　xy=k 　　y=k·x^（-1） 　　y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）
编辑本段反比例函数图象
　　反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
编辑本段k的意义及应用
　　过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积 S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k| 　　研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 　　所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
编辑本段反比例函数性质
单调性
　　当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。 　　k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
　　因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
面积
　　在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 　　反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|
图像
　　反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 　　反比例函数图像不与x轴和y轴相交。y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 　　k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 　　k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
　　反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 　　图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 　　反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。
与正比例函数交点
　　设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
编辑本段反比例函数的应用举例
　　【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式． 　　分析： 　　要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程． 　　解：∵ m, n是关于t的方程t^2+3t+k=0的两根 　　∴ m+n=-3，mn=k, 　　又 PO=根号13， 反比例函数图象
　　∴m^2+n^2=13， 　　∴(m+n^2-2mn=13， 　　∴ 9-2k=13． 　　∴ k=-2 　　当 k=-2时，△=9+2>0， 　　∴ k=-2符合条件， 　　【例2】直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求： 　　（1）求双曲线的解析式 　　分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段， 　　设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|， 　　根据矩形的面积公式知|m·n|=6.
编辑本段画法
　　1）列表 　　如 　　x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ...
y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ...
2)在平面直角坐标系中标出点 　　3）用平滑的曲线描出点 常见画法
　　1.当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。 　　2.当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。与X及Y轴无交点。 　　当两个数相等时那么呈弯月型。
编辑本段典型题目
　　1、已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k≠0） 　　（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？ 　　（2）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。 　　解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k不等于零）有两个交点，即 　　-x+6=k/x 化简的x^2-6x+k=0 有两个交点 则方程有两个不同的解 　　即6^2-4k>0 所以k<9且k不等于0 　　（2）当0<k<9时 两交点在第一象限所以∠AOB是锐角 当k<0时 两交点分别在第二和第四象限所以∠AOB是钝角 　　2、已知函数y=(m-1)x^(m^2-m-1). 　　（1）当m为何值时，y是x的正比例函数? 　　（2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？ 　　解（1）正比例函数则x次数是1 　　m^2-m-1=1 　　(m-2)(m+1)=0 　　m=2,m=-1 　　系数不等于0 　　m-1≠0 　　所以m=2,m=-1 　　（2）反比例函数则x次数是-1 　　m^2-m-1=-1 　　m(m-1)=0 　　m=0,m=1 　　系数不等于0 　　m-1≠0 　　所以m=0 　　3、一矩形的面积为24cm^2，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。 　　解 面积x*y=24 　　函数表达式y=24/x(0<x) 　　矩形的各边长均为整数 　　可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24

Answer 2

Y=K/X
当K小于0时，X越大，Y越大，当K大于0时，X越小，Y越大
反比例函数是相对于正比例函数来说的,正比例函数y=kx,反比例函数y=k/x

在复习“第11章 一次函数”内容的基础上，引进本章内容。应该有意识地加强反比例函数y=k/x （k为常数，）与正比例函数y=kx（k为常数，）之间的对比，对比可以从如下几方面进行：
1．两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？
2．在常数 相同的情况下，当自变量 变化时两种函数的函数值 的变化趋势有什么区别？
3．两种函数中 的取值范围有何不同？常数 的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？
回答是这样的：
1．两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个，即x，都有一个常数k，且；不同点是自变量 在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式 的右边是一个整式，不为0的常数k是自变量x的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，不为0的常数k处在分子的位置。
两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两支曲线。正比例函数的图象经过原点，而反比例函数的图象不经过原点。
2．在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y值增大（减小），而反比例函数的y值减小（增大）；在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y减小（增大），而反比例函数的 t值增大（减小）。
3．当常数 的符号改变时，两类函数图象所处的象限都会随之改变。当时，两类函数的图象都分布在一、三象限；当时，两类函数的图象都分布在二、四象限。本回答被提问者采纳

Answer 3

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。

Answer 4

反比例函数
形如
y＝k／x(k为常数且k≠0)
的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的图像为双曲线。

Answer 5

y=k/x
是反比例函数那末
y=k/x+b是什么？
举例：二次函数有以下几种形式
y=ax^2
y=ax^2+bx
y=ax^2+c
y=a(x+h)^2
y=a(x+h)^2+k
y=ax^2+bx+c
可以认为二次函数有多种形式
那末反比例函数是不是只有这一种形式呢？
若是，辛苦大哥说明道理。
若不是，也辛苦大哥帮小弟举一些例子。