设
直线方程为y=k(x-2),A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),点P(x,y)
联立得(2k²+1)x²-8k²x+8k²-2=0,
△>0,即(8k²)²-4(2k²+1)(8k²-2)>0,得k²<1/2
由|AB|<(2/3)根号5,即[根号(1+k²)]根号[(x1+x2)²-4x1x2]<(2/3)根号5
其中x1+x2=8k²/(2k²+1),x1x2=(8k²-2)/(2k²+1)
化简得56k^4+38k²-13>0,
因式分解为(14k²+13)(4k²-1)>0
得k²>1/4
于是1/4<k²<1/2
向量OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=OP=(tx,ty)
于是x=(x1+x2)/t,y=(y1+y2)/t【其中x1+x2=8k²/(2k²+1),y1+y2=-4k/(2k²+1)]
因为点P在椭圆上,于是x²/2+y²=1
所以[8k²/t(2k²+1)]²/2+[-4k/t(2k²+1)]²=1
化简得t²=16k²/(2k²+1)=16/[2+(1/k²)]
显然是关于k²的
增函数于是8/3<t²<8
得(2/3)根号6<t<2根号2,或-2根号2<t<-(2/3)根号6