旋转体的体积公式是v=(α+β+γ)。
当旋转体旋转轴 y=2a 正好位于摆线顶端，旋转体体积：V=∫π[4a²-(2a-y)²]dx，x积分区间是一个拱圈[0，2πa]；V=8π²a³-∫π(2a-a+acost)²*a(1-cost)dt,t=[0,2π]。
V=8π²a³-πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt=8π²a³-πa³∫(1+cost)sin²t dt=8π²a³-πa³∫sin²t dt=8π²a³-πa³∫(1-cos2t)dt/2=8π²a³-πa³/2。
旋转体绕x轴旋转体积
计算由曲线y=f（x）>0，直线x=a，x=b以及X轴所围成的曲边梯形绕X轴旋转一周而生成的立体的体积。取x为积分变量，则xE[a，b]，对于区间[a，b]上的任意一区间[x，x+dx]。
所对应的窄曲边梯形绕X轴旋转一周生成的薄片体积近似于以f（x）为底面半径，dx为高的圆柱体的体积，即dV=T[f（x）]Pdx。
以上资料参考：百度百科-旋转体
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