第1个回答 2011-10-08
对，不彻底，(x1+x2)(x1-x2)+16(x2-x1)/x1x2这个式子还要合到一起
提公因式：f(x1)-f(x2)=(x1-x2)*(x1+x2-16/x1x2)
=(x1-x2)[x1x2(x1+x2)-16]/x1x2
然后判断，x1-x2<0，x1x2>0，
因为x1＜x2∈(0,2]
所以：x1x2<4，x1+x2<4，所以x1x2(x1+x2)<16，即x1x2(x1+x2)-16<0
所以：f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[x1x2(x1+x2)-16]/x1x2>0
即：f(x1)>f(x2)
所以f(x)递减
（用定义法，最后一般都要合成一个式子去判断）
第三题，如果你没学过导数的话好像做不来：
按照你的做法，你化错了，应该是：x^3-(m²+16/m)x+16=0
令g(x)=x^3-(m²+16/m)x+16，方程有三个根，即g(x)与x轴有三个交点，
则极大值要大于0，极小值要小于0，这么做几乎是不现实的，到最后很难解，计算直接进行不下去；下面提供另一解法：
首先明确f(m)是一个常数，令f(m)=c；
（在中学阶段，一个等式中最多只有一个变量，另一个是参数）
所以：f(x)=f(m)=c有三个根，即f(x)的图像与水平直线y=c有三个交点：
通过求导，大致画出f(x)的图像：
f'(x)=2x-16/x^2=2(x^3-8)/x^2=2(x-2)(x^2+2x+4)/x^2
显然x^2>0，x^2+2x+4=(x+1)^2+3>0，所以x<2时，f'(x)<0；x>2时，f'(x)>0；
在x=2处，f(x)取得极值，f(2)=12；
但不能轻易下结论f(x)在(-∞,2)递减，在(2,+∞)递增；
因为f(x)在x=0处无定义，
（这就类似于最简单的反比例函数y=1/x，你不能说它在R上递减而只能说它在(-∞,0)，(0,+∞)上递减，是一个道理）
易看出：当x从0的左侧趋于0时，f(x)是趋向于负无穷的，而当x从0的右侧趋于0时，f(x)是趋于正无穷的，这正好和反比例函数y=1/x类似；
但f(x)=0，即x^2+16/x=0，即x^3=-16，显然0点在x轴负半轴，
（其实易看出当x趋向于负无穷时，f(x)是趋向于正无穷的）
所以就能得出f(x)的大致图像：
当x<0时，f(x)是从正无穷递减到正无穷；
当0<x<2时，f(x)是从正无穷递减到12；
当x=2时，取得极小值12；
当x>2时，f(x)是从12递增到正无穷；
所以，要使y=c与f(x)的图像有三个交点，则c必须满足：c>12；
即：m^2+16/m>12；
当m<0时：m^3-12m+16<0；结合题意有一个根是m=2，则凑配法：
得：(m-2)(m^2+2m-8)<0，
即：(m-2)(m-2)(m+4)<0，因为m<0，即m≠2
所以：m+4<0，得m<-4；
当m>0时：同上：m^3-12m+16>0；
(m-2)(m-2)(m+4)>0，因为m>0，所以m+4>0
所以：(m-2)^2>0，得：m≠2
综上，实数m的取值范围是：m<-4或m>0且m≠2
希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！
第2个回答 2011-10-07
(x1-x2)(x1+x2-16/x1x2)
x1-x2<0, 16/x1x2>4,x1+x2<4,
x1+x2-16/x1x2<0,
所以式子大于0， 递减
第3个回答 2011-10-07
x1＜x2∈(0,2]
所以0<x1+x2<4
16/(x1x2)>4
所以x1+x2<16/(x1x2)
所以x1+x2-16/x1x2<0
因x1-x2<0
所以(x1-x2)(x1+x2-16/x1x2)>0
所以f(x1)>f(x2)
所以是减函数
第4个回答 2011-10-07
f(x1)-f(x2)
=x1²+（16/x1）-x2²-（16/x2）
=(x1+x2)(x1-x2)+16(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(x1+x2-16/x1x2)
∵x1＜x2∈(0,2]
∴x1x2<4 16/x1x2>4 x1+x2<4
∴x1+x2-16/x1x2<0
∴(x1-x2)(x1+x2-16/x1x2)>0
即f(x1)>f(x2)
∴是减函数
第5个回答 2011-10-08
先解第二步；
化到这里后(x1+x2)(x1-x2)+16(x2-x1)/x1x2
还要再化一步，提取（x1-x2）
=-(x1-x2)+[(x1+x2)-16/(x1x2)]
x1＜x2∈(0,2] 得到x1x2<4; x1+x2<4;16/(x1x2)>4
所以[(x1+x2)-16/(x1x2)]<0且x1-x2<0
则。。。。
第三步；
不得不说你化错了应该为
x^3+m²x+(16/m)x+16=0
令它有三个实数根，则说明该三次函数的极大值大于零，极小值小于零
因为三次函数本是增减增
然后求导算出极值点q1,q2（假设q1<q2），代入原方程并令
q1^3+m²q1+(16/m)q1+16>0
q1^3+m²q2+(16/m)q2+16<0
便可解出m的取值范围
只不过我好久没算这个了，具体结果没算出来
不知道是我方法错了，还是计算能力下降了
仅供参考
楼下正解