题目是X的Y次方等于Y的X次方。求Y导数。

Question

书上的答案是x^y=y^x 两边取自然对数得 ylnx=xlny 两边对x求导得 y'lnx+y/x=lny+x/yy' y'=(lny-y/x)/(lnx-x/y)。
我想问取对数后如果写成lnx/x=lny/y，再两边对x求导的时候为什么算出的结果不一样！！！！

Answer 1

按照你的写法：lnx/x=lny/y
求导：(1-lnx)/x^2=[(1-lny)/y^2]*y'
得：y'=(1-lnx)y^2/(1-lny)x^2
=y(y-ylnx)/x(x-xlny)
=(y/x)*[(y-ylnx)/(x-xlny)]①
按答案的结果：y'=(lny-y/x)/(lnx-x/y)
分子分母同乘xy，得：y'=(xylny-y^2)/(xylnx-x^2)
=(y/x)*[(xlny-y)/(ylnx-x)]
=(y/x)*[(y-xlny)/(x-ylnx)]②
①式与②式的区别在于(y-ylnx)/(x-xlny)与(y-xlny)/(x-ylnx)
因为x^y=y^x，而由对数的性质：ylnx=lnx^y，xlny=lny^x，
所以：ylnx=xlny，
也就是说(y-ylnx)/(x-xlny)与(y-xlny)/(x-ylnx)其实是相等的，
所以①式与②式是相等的；
所以两种做法其实是一样的，都可以采用。

希望能帮到你，祝学习进步！

Answer 2

x^y=y^x
ylnx=xlny
lnx/x=lny/y
(1-lnx)/x²=(y'-lny*y')/y²
(1-lnx)/x²=(1-lny)/y² * y'
y'=[y²(1-lnx)]/[x²(1-lny)]
结果是一样的，在代入实际数值后才知道。

x^y=y^x
当x=a时，a^y=y^a，y=a 或 y=...其余2个值都是非初等函数
代入y'
[a²(1-lna)]/[a²(1-lna)]=1
而代入书中的答案是：
(lna-1)/(lna-1)=1
所以结果是一样的，只是形式不同。

Answer 3

化成lnx/x=lny/y后，求导
(1-lnx)/x²=(1-lny)y'/y²
y'=y²(lnx-1)/[x²(lny-1)]
答案是一样的，因为
y'=(lny-y/x)/(lnx-x/y)
=(xylny-y²)/(xylnx-x²)
=(y²lnx-y²)/(x²lny-x²)
=y²(lnx-1)/[x²(lnx-1)]