1、考虑所有坐标 (a,b)的向量空间R，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1= (1,0)和e2= (0,1):假设v= (a,b)是R中的向量，则v=a(1,0) +b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R的一个基。
2、更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e1,e2, ...,en可以在实数域上生成R。因此，它们也是的一个基而R的维度是n。这个基叫做R的标准基。
3、设V是由函数e和e生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。
4、设R[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x, ...)是R[x]的基。R[x]的维度因此等于aleph-0。
扩展资料
一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。
以上结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。
在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。
同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那幺元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。
参考资料来源：百度百科-基