如何求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点？

Question

如题所述

Answer 1

如何求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点？可以按下列三步骤分析：

第一步，求函数的一阶导数，判断函数的单调性，如在（a,b）内的任意一点，有f'(x)>0，则单调上升；如在（a,b）内的任意一点，有f'(x)<0，则单调上降

第二步，当f'(x)=0有解，则该解为函数的极值点，最大值点（-1，3），最小值点（3，-61）

第三步，求函数的二阶导数，判断函数的凹凸性，，如在（a,b）内的任意一点，有f"(x)>0，则f(x)在【a,b】内是凹的；如在（a,b）内的任意一点，有f"(x)<0，则f(x)在【a,b】内是凸的。

拐点（1，29）

求解过程如下：

Answer 2

求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点是微积分中的基本问题。以下是解决这些问题的一般步骤：
1. 求导数：首先，对给定的函数进行求导，得到它的导数。
2. 寻找驻点：令导数等于零，解出方程，得到驻点（即可能的极值点）。
3. 判断极值：对于每个驻点，分别在该点左侧和右侧取两个点，计算它们对应的导数值，并比较大小。如果左侧导数小于0且右侧导数大于0，则该点为极小值点；反之，如果左侧导数大于0且右侧导数小于0，则该点为极大值点。注意，如果一个驻点两侧的导数相等或无法确定，则不能判断是否为极值点。
4. 寻找拐点：令二阶导数等于零，解出方程，得到可能的拐点。然后，在每个拐点处分别向左和向右取两个点，计算它们对应的二阶导数值，并比较大小。如果左侧二阶导数小于0且右侧二阶导数大于0，则该点为凹点；反之，如果左侧二阶导数大于0且右侧二阶导数小于0，则该点为凸点。
5. 判断凹凸性：在一个区间内，如果函数的二阶导数大于0，则该区间为凹区间；如果二阶导数小于0，则该区间为凸区间。
需要注意的是，以上方法只适用于连续可导的函数。对于某些特殊的函数，例如分段函数或者含有绝对值符号的函数，需要根据具体情况采取不同的处理方法。