如何求解点P的轨迹方程和纵坐标的取值范围？

Question

如题所述

Answer 1

(1) 根据已知条件，当 a = 1 时，点 X(p, q) 和点 Y(r, s) 在函数 G 的图像上，并且 p = r + a，q = s + 2r-3a。代入 a = 1，得到 p = r + 1，q = s + 2r - 3。
由题意可知函数 G 的解析式为 G(x) = ax² + bx。代入 a = 1，得到 G(x) = x² + bx。
(2) 现在考虑点 A(3, m)，过 A 点的直线 l₁ 与函数 G 相交于点 A、B 两点，并连接 AB。直线 l₂ 过点 A 且与函数 G 相切。在线段 AB 上有一动点 P（与 A、B 不重合），过 P 点作 y 轴平行线，与函数 G 相交于点 C，与直线 l₂ 相交于点 D，连接 BC。过点 D 作 DE // BC，与直线 l₁ 相交于点 E，并且 DE 与函数 G 相切。
接下来，我们按步骤求解 P 点的轨迹方程和纵坐标的取值范围：
Step 1: 求直线 l₁ 的方程。
由已知点 A(3, m) 和点 B(r, s) 可得直线 l₁ 的斜率为 (s - m) / (r - 3)。又因为 l₁ 经过点 A(3, m)，所以直线 l₁ 的方程为 y - m = [(s - m) / (r - 3)](x - 3)。
Step 2: 求函数 G(x) 与直线 l₁ 的交点坐标。
将 G(x) = x² + bx 代入直线 l₁，得到方程 x² + bx - m = [(s - m) / (r - 3)](x - 3)。
解方程可以得到两个解 x₁ 和 x₂，对应于函数 G(x) 与直线 l₁ 的交点坐标。
Step 3: 求直线 l₂ 的方程。
由已知点 A(3, m) 可知，直线 l₂ 过点 A(3, m) 并且与函数 G(x) 相切。因为切线的斜率等于函数 G(x) 在切点处的导数，我们可以求出函数 G(x) 的导数为 G'(x) = 2x + b。
由于直线 l₂ 与函数 G(x) 相切于点 A(3, m)，所以直线 l₂ 的斜率应等于函数 G(x) 在 x = 3 处的导数。即 [(s - m) / (r - 3)] = G'(3) = 2(3) + b。
解方程求得参数 b。
Step 4: 确定点 C 的坐标。
将 x = 0 代入直线 l₁ 的方程，可以求得 l₁ 与 y 轴的交点为 C(0, c)。
Step 5: 求点 P 的轨迹方程。
过 P 点作 y 轴平行线，与函数 G(x) 相交于点 C 和点 P。由于 C 和 P 在同一条平行线上，所以 P 的横坐标为 0。即 P 的坐标为 P(0, p)。
将 P(0, p) 代入函数 G(x)，可以得到纵坐标 p 的表达式。
Step 6: 确定 P 点纵坐标的取值范围。
由于 P 点在线段 AB 上，所以 p 的取值范围应在 A 点纵坐标和 B 点纵坐标之间。
根据具体数值计算，可以得到 P 点的轨迹方程以及纵坐标的取值范围。