依次求（1）证明方程e^x+x^(2n+1)=0有唯一的实根Xn （2）证明limn→∞ Xn存在并且求其值A

Question

（3）证明当n→∞时，Xn-A与1/n是同阶无穷小

Answer 1

(1)令f(x)=e^x+x^(2n+1)。可得f'(x)=e^x+(2n+1)*x^(2n), f'(x)>0。所以这是一个单调增函数，而容易看出来，当x为负值时，如x=-1，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0。所以在（-1,0)之间 必有唯一的实根Xn.
(2)先证明Xn随着n增大递减，如假设n=k时，有e^(Xk)+(Xk)^(2k+1)=0，当我们取n'=k+1时，有方程e^(Xk)+(Xk)^(2n'+1)>0(因为(Xk)^(2n'+1)> (Xk)^(2k+1)。) 所以，可知，应有Xn‘<Xn。所以Xn是个单调递减的数列，而它又是有界的，由 单调有界必有极限 可得，limn→∞ Xn存在。 极限值为-1。（证明：当趋近于极限时，应有，e^xn+xn^(2n+1)=0，且应有当n‘=n+1时，xn'=xn，e^xn’+xn‘^(2n’+1)=0。所以有xn‘^(2n’+1)=xn^(2n+1)，即xn^2=1，所以xn=-1，xn不可能大于0，舍去xn=1的值。）
（3)可以用逆向证明，Xn-A与1/n是同阶无穷小，即，xn-A~k/n, k为一常数，所以可令xn=k/n-1, 将其带入方程，e^x+x^(2n+1)=0，有，x^(2n+1)=-(1-k/n)^(2n+1)=-(1-k/n)^[-n/k*(-2k+k/n)]=-e^(-2k+k/n), 所以当k=1/2时(-2k+k/n=(k/n-1)=xn)，即有，x^(2n+1)=-e^(xn), 它是方程的解，所以，xn=k/n-1成立，即xn-A与1/n是同阶无穷小。追问

x^(2n+1)=-(1-k/n)^(2n+1)=-(1-k/n)^[-n/k*(-2k+k/n)]=-e^(-2k+k/n),有点不懂

追答

哦，这是e函数的一个公式，lim x→0(1+x)^(1/x)=e. 所以，取x=-k/n, 有(1-k/n)^(-n/k)=e, 所以，(1-k/n)^[-n/k*(-2k+k/n)]=e^(-2k+k/n)。

追问

(1-k/n)^(2n+1)=-(1-k/n)^[-n/k*(-2k+k/n)]中
2n+1应该=-n/k*(-2k-k/n)吧

追答

哦，是的，你说的对，我发现问题主要出在，xn=k/n-1上了，现在运用
lim x→0(1+x)^[(1/x)*(x*(2n+1))]=e^(x*(2n+1))，有2n+1的存在，不能只考虑xn-A的一阶无从小，还需考虑二阶，应有xn~k/n-1+c/(n^2)，如此，应令x=-[k/n+c/(n^2)]，而x*(2n+1)=-2k-k/n-2c/n-0(1/n^2), 而另一方面e^(xn)=e^(-1+k/n+c/(n^2))，只要k=1/2，且c=-1/2，就满足一阶无穷小等价了，指数里还有0(1/n^2)二阶小量没有消掉，不过考虑它只要求一阶无穷小而可以忽略它？？这个算法还是不怎么严谨。

对了，不要直接去构造，xn的具体形式了，且令xn-A=fn，显然有n→∞，fn→0，所以，
xn^(2n+1)=(fn-1)^(2n+1)=-(1-fn)^(2n+1)=-e^[-fn*(2n+1)], 而e^xn=e^(fn-1)，所以有
-fn*(2n+1)=fn-1， fn相对于1是无穷小量，所以有fn*(2n+1)~1，所以fn与1/n是同阶无穷小。

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