判断函数f(x)=x+1/x在区间[2,6]上的单调性;并求函数在该区间上的最值

Question

如题所述

Answer 1

用定义解。
解：
设2≤x1<x2≤6。
f(x2)-f(x1)
=x2+1/x2-x1-1/x1
=(x2-x1)-(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[1-1/(x1x2)]
x1≥2 x2≥2
x1x2≥4
1-1/(x1x2)≥1-1/4=3/4>0
x2-x1>0
f(x2)>f(x1)
函数在[2，6]上单调递增
当x=6时，函数有最大值f(x)max=6+1/6=37/6
当x=2时，函数有最小值f(x)min=2+1/2=5/2

如果你学过导数，就会很简单：
f'(x)=1-1/x²
x≥2 1/x²≤1/4
f'(x)≥1-1/4=3/4>0
函数单调递增
后面的步骤相同。

Answer 2

y'=1-1/x²=(x+1)(x-1)/x²
对于x∈[2,6],y'>0,故为增函数，最小值为f(2)=2+1/2 =5/2,最大值为f(6)=6+1/6=37/6