高中数学 函数f(x)=1-e^(-x),当大于等于0时，f(x)<=x/ax+1,求a的取值范围

Question

函数f(x)=1-e^(-x),当x大于等于0时，f(x)<=x/(ax+1),求a的取值范围

Answer 1

这个题想了一段时间，是这样的：
首先，令g(x)=x/(ax+1),其图像为双曲线，而f(x)图像为指数图像，通过对他们求导，发现他们都是单调递增的函数。要使f(x)<=g(x)，从图像上可知g(x)的导数必然要大于f(x)的导数。化简后即1/(ax+1)>=e^(-x/2),由此可断定a>=0
其次，要使1/(ax+1)>=e^(-x/2)，由于a,x都大于0，两边同乘以ax+1得1>=(ax+1)*e^(-x/2)，对其中的ax+1变为e^ln(ax+1)代入1>=(ax+1)*e^(-x/2)，得1>=e^{(-x/2)+ln(ax+1)}，其中的1变为e^0，所以不等式变为0>=-x/2+ln(ax+1),即x/2>=ln(ax+1)，同理要使其成立，必然x/2的导数大于等于ln(ax+1)的导数，即1/2>=a/(ax+1),这样就有a(2-x)<=1。 这个不等式要在x>=0时恒成立，只要a(2-x)的最大值小于1就可以了。而其中a>=0 2-x的最大值为2，因此a(2-x)的最大值为2a，及2a<=1，所以a<=1/2,加上a>=0 所以0<=a<=1/2。追问

要使f(x)<=g(x)，从图像上可知g(x)的导数必然要大于f(x)的导数
这个结论可以直接用吗？

追答

把基本的图形画出来 或者形状表示出来就可以了。

追问

也就是不能直接用，不过要f(x)=0
利用导数最好是g(x)-f(x)的导数>=0在定义域内恒成立，是不是这样。

Answer 2

由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞- ，则 ＜0，f（x）≤ 不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤ 当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤ 时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤
（ii）当a＞ 时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜ 时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞
综上，a的取值范围是[0， ]

参考资料：2010年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）（大纲版）

Answer 3

我不会