在极坐标系中，求过点（2，3分之派）倾斜角为4分之派的直线的极坐标方程

Question

如题所述

Answer 1

设已知点为A（2，π/3），则OA=2。

方法一，用极坐标
设所求直线与极轴的反向延长线交于点B，在△AOB中，∠B=π/4，∠AOX=π/3，所以∠A=π/12，
在所求直线上任取一点M，OM=ρ，∠MOX=θ，则
∠AOM=∠MOX-∠AOX=θ-π/3，∠AMO=π-∠A-∠AOM=π-π/12-(θ-π/3)=5π/4-θ，
在△AOM中，由正弦定理有OA/sin∠AMO=OM/sin∠A，即
2/sin(5π/4-θ)=ρ/sin(π/12)，
化简即得所求直线的极坐标方程：ρsin(θ-π/4)=(√6-√2)/2，
也可写为ρsinθ-ρcosθ=√3-1；

方法二：转化为直角坐标
首先将已知点A（2，π/3）转化为直角坐标得A（2cos(π/3)，2sin(π/3)），即A（1，√3），
而所求直线的倾斜角为π/4，所以其斜率为tan(π/4)=1，由点斜式可写出其直线方程为
y-√3=1*(x-1)，
再将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入即得所求直线的极坐标方程ρsinθ-ρcosθ=√3-1。

Answer 2

首先有：x=ρ*cosθ,y=ρ*sinθ
所以，化为直角坐标来做：
原题为：求过点（1，√3）斜率为：tanπ/4=1的直线方程
所以：直线方程：y-√3=1*(x-1)，即：y=x-1+√3
在化为极坐标：ρ*sinθ=ρ*cosθ-1+√3
合并：√2*ρ*sin(θ-π/4)=√3-1
化简：ρ*sin(θ-π/4)=(√3-1)/√2
即：ρ*sin(θ-π/4)=(√6-√2)/2
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