微分方程(x+y)dx+xdy=0的通解

Question

希望过程详细点

Answer 1

解微分方程(xy2+y)dx-xdy=0 先求积分因子：P=xy2+y,Q=-x；?P/?y=2xy+1；?Q/?x=-1； G(y)=(1/P)(?P/?y-?Q/?x)={1/[y(xy+1)]}(2xy+2)=2/y；故得积分因子μ(y)=e^∫(-2/y)dy=1/e^(2lny)=1/e^(lny2)=1/y2；把原方程的两边乘上这个积分因子,得一全微分方程： (x+1/y)dx-(x/y2)dy=0,即有d(x2/2+x/y)=0 故得原方程的通解为：x2/2+x/y=C.

Answer 2

解：∵xdy+2(y-㏑x)dx=0
==>(x^2dy+2xydx)-xlnxdx=0
(等式两端同乘x)
==>∫(x^2dy+2xydx)-∫xlnxdx=0
==>yx^2-(2lnx-1)x^2/4=c
(c是积分常数)
==>y=c/x^2+(2lnx-1)/4
∴此方程的通解是y=c/x^2+(2lnx-1)/4。