答案是(2,10/3]
解:
∵a(n+1)≥a(n),a(1)=1
∴a(n)≥1
a(n)<a(n+1)=C-1/a(n)
C=a(n)+1/a(n)>2
∵a(n)<3
∴C-1/a(n)<C-1/3≤3
C≤10/3
∴C的范围是(2,10/3]
再证明必要性:即当C在(2,10/3]范围时,有a(n)<a(n+1)<3成立
1≤a(1)<3成立
假设1≤a(n-1)<3成立
那么a(n)=C-1/a(n-1),则a(n)的范围是[C-1,C-1/3)
∵C范围是(2,10/3]
∴a(n)范围是(1,3)满足1≤a(n)<3
a(2)=C-1>a(1)成立
假设a(n-1)<a(n)=C-1/a(n-1)成立
即a(n-1)=1/[C-a(n)]<a(n)成立
此时有[a(n)]^2-Ca(n)+1<0
那么两边除以a(n)
a(n)-C+1/a(n)<0
a(n)<C-1/a(n)=a(n+1)
∴a(n)<a(n+1)成立
∴当C在(2,10/3]范围时,有a(n)<a(n+1)<3成立
综上,当且仅当C在(2,10/3]范围时,有a(n)<a(n+1)<3成立
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