(1)由OC=OB=3,可知点C坐标是(0,-3),
连接AC,在Rt△AOC中,
∵tan∠ACO=
,
∴OA=OC×tan∠ACO=3×
=1,
故A(-1,0),…(3分)
设这个二次函数的表达式为:y=a(x+1)(x-3),
将C(0,-3)代入得:-3=a(0+1)(0-3),
解得:a=1,
∴这个二次函数的表达式为:y=(x+1)(x-3)=x
2-2x-3.…(5分)
(2)①当直线MN在x轴上方时,设所求圆的半径为R(R>0),设M在N的左侧,
∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上,
∴N(R+1,R)代入y=x
2-2x-3中得:R=(R+1)
2-2(R+1)-3,
解得R=
.…(10分)
②当直线MN在x轴下方时,设所求圆的半径为r(r>0),由①可知N(r+1,-r),代入抛物线方程y=x
2-2x-3,可得-r=(r+1)
2-2(r+1)-3,
解得:r=
.…(13分)
(3)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
把G(2,y)代入抛物线的解析式y=x
2-2x-3,得G(2,-3).…(15分)
由A(-1,0)可得直线AG的方程为:y=-x-1,…(16分)
设P(x,x
2-2x-3),则Q(x,-x-1),
∴PQ=-x
2+x+2,
S
△AGP=S
△APQ+S
△GPQ=
PQ?(G
横坐标-A
横坐标)=
(-x
2+x+2)×3=-
(x-
)
2+
,…(18分)
当x=
时,△APG的面积最大,…(19分)
此时P点的坐标为(
,-
),△APG的面积最大值为
.…(20分)