设函数f（x）=x2ex-1-13x3-x2（x∈R），（1）求函数y=f（x）...

Question

设函数f（x）=x2ex-1-13x3-x2（x∈R）， （1）求函数y=f（x）的单调区间； （2）求y=f（x）在[1，2]上的最小值； （3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，ex-1＞xnn！．

Answer 1

（1）解：f'（x）=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x（x+2）（ex-1-1），
令f'（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x（-∞，-2）-2（-2，0）0（0，1）1（1，+∞）f'（x）-0+0-0+f（x）↓极小值↑极大值↓极小值↑∴函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）；
（2）解：当x∈[1，2]时，f（x）递增，
则f（1）=1-13-1=-13，
所以f（x）在[1，2]上的最小值为-13；
（3）证明：设gn（x）=ex-1-xnn!，
当n=1时，只需证明g1（x）=ex-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=ex-1-1＞0，
所以g1（x）=ex-1-x在（1，+∞）上是增函数，
∴g1（x）＞g1（1）=e0-1=0，即ex-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk（x）=ex-1-xkk!＞0，
当n=k+1时，
因为g′k+1（x）=ex-1-(k+1)•xk(k+1)!=ex-1-xkk!＞0，
所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以gk+1（x）＞gk+1（1）=e0-1(k+1)!＞0，
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，ex-1＞xnn！．