求一个正交变换x=py使二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+4x2x3化为标准型

Question

如题所述

Answer 1

解: 二次型的矩阵 A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3

|A-λE| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).

所以 A 的特征值为 1,2,5.

(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.

a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'

令 P = (b1,b2,b3), 则 P 是正交矩阵, 且
P^-1AP = diag(1,2,5).
故 X=PY 是正交变换, 满足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.追问

不好意思，最后四行没看懂。

追答

P = (b1,b2,b3), 是以 b1,b2,b3 为列向量构成的矩阵

diag(1,2,5) 是对角矩阵