求正交变换X=PY ,将二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^2-2x1x2-2x1x3-2x2x3 化为标准形，并写出其标准形.

Question

如题所述

Answer 1

记X' = (x1, x2, x3);
那么f(X) = X' A X
其中 A = [ 2, -1, -1; -1, 2, -1; -1, -1, 3]
因为X = PY是正交变换
代入f(X)得到：
f(Y) = Y' (P'AP) Y是一个标准型，那么(P'AP)是一个对角矩阵。
这样就很简单了，只要对A对角化就行了。
下面你自己做下去吧！不会可以追问，或者看一题对角化的例题，呵呵，加油。追问

能不能帮我把下面的完成 实在是不会艾 谢啦！

追答

对A对角化，步骤如下：
先求A的特征值lamda1, lamda2, lamda3，对应的特征向量为X1，X2，X3
我求了一下正好是三个不同的特征值，其中一个是3，具体值我就不打了，你自己算吧。

那么 P = [X1， X2， X3]，X1,X2,X3为单位化的列向量。
[lamda1,0,0; 0 lamda2, 0; 0, 0, lamda3] = P‘ A P

建议你找本线性代数书，看个例子，就会了，不要怕麻烦，学习嘛，加油。真心不会的话，可以继续问，呵呵。