求教数分：关于函数列级数收敛

Question

第5题是我最想问的，完全没思路。求指点。
第6题会做，不知对不。是不是把 用 f(x)=f(x)-f(0)+f(0)，相乘后 前一部分可用 f(x)-f(0)=（f(x)-f(0)）/x*x,再用一下 推广的黎曼引理lim{u->0} int(f(x)g(ux),x=a..b)=1/T*int(g(x),x=0..T)*int(f(x),x=a..b) ?
第7题这个知识点一点不懂，貌似华东师范的教材没有。能不能把重要的结论说一下，尤其是半正定怎么用啊？说一下了解一下就好，如果理解不了就放弃算了。
是关于级数收敛，不是函数列级数。呵呵，标题写错了。

Answer 1

5、没有简单的方法。注意到一个事实：1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)是由极限的，因此这个数列有界M（实际上可以取M=1）。对级数先用算术几何均值不等式。对新得到的级数，当考虑部分和时，注意到相加的项中含有an的最多有an/n an/(n-1) an/(n-2)...,an/([n/2]+1)(中括号表示取整)，这部分的和不会超过Man，因此新级数部分和有上界，比较判别法可得结论。
6、就是这么做。
7、正定只是为了说明梯度算子df是可逆的。学过隐函数定理或者反函数定理吧。这道题应该是把隐函数定理或者反函数定理推广到多维映射上，应该用隐映射定理或逆映射定理。因此只要梯度算子有逆，根据隐映射定理就知道逆算子是光滑的。追问

谢谢了，看来第5题还是应该要会做的。
第7题，我们学过隐函数定理，也学过反函数定理，是华东师范的教材，没有多维的。这个是南京大学的题，请问我需要看哪些知识点？

追答

一般的教材对多维的不一定讲，但题目肯定有。比如有两个方程或多个方程决定的函数（实际是映射）的偏导数的计算，你可以看看课后习题。如果对隐函数比较熟悉的话，对多维的应该没有什么难点，所谓的隐函数定理就是一个方程能求出一个未知数，多维的话就是n个方程能求出n个未知数。当然，这肯定是需要加条件的，条件就类比线性代数的理论就知道了，要想解出y1，...，yn，很显然，关于y1，...，yn的雅克比阵必须是非奇异的。