f'(x)=0,f''(x)=0但x为极点不为拐点的函数

Question

如题所述

Answer 1

比如f(x)=x^4
在x=0处
f'(x)=4x^3=0
f"(x)=12x^2=0
f(0)为极小值点，但因为f(x)开口向上，所以x=0不是拐点。追问

拐点不是曲线凹凸性发生变化的点吗？如果是个证明题那又怎么求呢？如果是分段函数又怎么证明呢

追答

其实，用该点的泰勒展开式来理解（或求解）是最容易的。
f(x)-f(x0)=f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2!+f"'(x0)(x-x0)^3/3!+.....
拐点是凹凸性发生变化的点，即在x=x0的左右邻域，f"(x0)符号改变
而当f'(x0)=f"(x0)=0时，
就会有：f(x)-f(x0)=f"'(x0)(x-x0)^3/3!+f""(x0)(x-x0)^4/4!...
这样判断符号改变就需要从更高阶的导数来判断了。

追问

好棒啊 ，但是原题是这样的f'(x）=0，f“（x)=0,f""(x)（四次导）不等于0，那存不存在x为极值点或者拐点呢？是要举例子证明的，大神，这个题对我很重要，回答我吧，谢谢喽

追答

假如前三阶导数都为0，而4阶导不为0，那么
f(x)-f(x0)=f""(x0)(x-x0)^4/4!+..
因此在x0的左右邻域，f(x)-f(x0)的符号是不变的，因此x0为极值点。

追问

大神，别嫌我烦啊，+后面的。。是什么啊，然后要举例证明不是拐点的，大神能不能设个函数，证明一下啊

追答

+后面的是泰勒展开的5次项，6次项,...呀
上面举的例子都说明了它是极值点而不是拐点了。
拐点是看二阶导数的符号是否改变。
比如上面的f(x)-f(x0)=f""(x0)(x-x0)^4/4!+..
求二阶导：f"(x)-f"(x0)=f""(x0)(x-x0)^2/2!+...
因为f""(x0)不为0，因此在x0的左右邻域，f"(x)都不变号，所以不是拐点。