设随机变量X与Y相互独立，且有方差D(X)与D(Y)，求证： D(XY)=D(X)D(Y)+[E(Y)]2D(X)+[E(X)]2D(Y)

如题所述

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推荐答案 2023-04-23

【答案】：证积的方差．
在例3.20题1中已经证明：此时X²与Y²相互独立．于是，有
D(XY)=E[XY-E(XY)]²=E(X²Y²)-[E(XY)]²
=E(X²)E(Y²)-[E(X)E(Y)]²
=[D(X)+(E(X))²][D(Y)+(E(Y))2]一[E(X)E(Y)]²
=D(X)D(Y)+[E(Y)]²D(X)+[E(X)]²D(Y)．

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若X和Y独立,证明D(XY)=D(X)D(Y)+E(X)2D(Y)+E2(Y)D(X).答：【答案】：右边=[E(X2)-E2(X)][E(Y2)-E2(Y)]+E2(X)(E(Y2)-E2(Y))+E2(Y)(E(X2)-E2(X))=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=E(X2Y2)-E2(XY)=D(XY)=左边得证．

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x,y相互独立时,方差d(xy)答：如果 E(X) = E(Y) = 0,那么 D(XY) = E(X²)E(Y²) = D(X)D(Y)，也就是说当 X,Y独立，且X,Y的数学期望均为零时，X,Y乘积 XY的方差D(XY)等于：D(XY) = D(X)D(Y)

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