已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c属于R)

Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,当x属于(负无穷，-2)并上(0,正无穷)时,f(x)>0,当x属于(-2,0)时,f(x)<0,且对任意x属于R,不等式f(x)>=(a-1)x-1恒成立。
(1)求函数f(x)的解析式
(2)设函数F(x)=tf(x)-x-3,其中t>=0,求F(x)在x属于[-3/2,2]时的最大值H(t)
(3)在(2)的条件下,若函数y=log2[p-H(x)]的图像与直线y=0无公共点,求实数p的范围。

Answer 1

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c。当x∈(-∞, -2)∪(0, +∞)时，f(x)>0；当x∈(-2, 0)时，f(x)<0。且对任意x∈R，不等式f(x)≥(a-1)x-1恒成立。
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 设函数F(x)=t*f(x)-x-3，其中t≥0，求F(x)在[-3/2, 2]上的最大值H(t)；
(3) 在(2)的条件下，若函数y=log_2 (p-H(x))的图像与直线y=0无公共点，求实数p的范围。

解：
（1）由已知，x=-2, 0是f(x)的两个零点，且a>0，故f(x)=a*x*(x+2)=a*x^2+2a*x，
设g(x)=f(x)-(a-1)x+1，则g(x)=a*x^2+(a+1)*x+1。
因为f(x)≥(a-1)x-1恒成立，故g(x)的判别式Δ≤0，即(a+1)^2-4a≤0，(a-1)^2≤0，所以a=1。
所以f(x)=x*(x+2)。

（2）F(x)=t*f(x)-x-3=t*x*(x+2)-x-3=t*x^2+(2t-1)*x-3，
当t=0时，F(x)=-x-3，在[-3/2, 2]上的最大值H(0)=-3/2。
当t>0时，(-3/2+2)/2=1/4，-(2t-1)/(2t)=-1+1/(2t)>-1，
令1/4=-1+1/(2t)得：t=2/5。
当0<t<2/5时，1/4<-1+1/(2t)，F(x)的对称轴在区间[-3/2, 2]中点的右边，F(x)在[-3/2, 2]上的最大值H(t)=F(-3/2)=-3t/4-3/2；
当t≥2/5时，1/4≥-1+1/(2t)，F(x)的对称轴在区间[-3/2, 2]中点的左边，F(x)在[-3/2, 2]上的最大值H(t)=F(2)=8t-5；
{ -3t/4-3/2，0≤t<2/5；
故H(t)={
{ 8t-5， t≥2/5。

（3）
{ p+3x/4+3/2，0≤x<2/5；
p-H(x)={
{ p+5-8x， x≥2/5。
欲使函数y=log_2 (p-H(x))的图像与直线y=0无交点，需且只需p-H(x)的图像与直线y=1无交点。
由于x≥2/5时p-H(x)为减函数，如果对某点x0≥2/5，p-H(x0)>1，则必存在一点x2>x0，使得p-H(x2)=1。（由函数图象很容易看出）
故，欲使p-H(x)的图像与直线y=1无交点，必须使得对任意x≥0，p-H(x0)<1。由函数图形（或者根据单调性），p-H(x)在x=2/5时取最大值，令p-H(2/5)<1，得p<-4/5。

由已知，函数y=log_2 (p-H(x))的定义域不能为空集，故有p-H(2/5)>0，故p>-9/5。
故p的取值范围是：(-9/5, -4/5)。

Answer 2

只能算到b=2a，c=0

Answer 3

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数
*表示乘号，/表示除号