一次函数

Question

没打上，是找题啦。sorry

Answer 1

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一次函数求助编辑百科名片

一次函数的实例一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。
目录

基本定义
相关性质
图像性质解析式表达局限性倾斜角的概念
与二元一次方程的关系
一、区别和联系二、两个本函数图象交点与方程组解的联系三、方程组无解时相应函数图象的关系四、用作图的方法解二元一次方程组五、用二元一次方程组确定本函数解析式
常用公式
生活中的应用数学问题典型例题综合测试常见题型基本定义
相关性质
图像性质解析式表达局限性倾斜角的概念
与二元一次方程的关系
一、区别和联系二、两个本函数图象交点与方程组解的联系三、方程组无解时相应函数图象的关系四、用作图的方法解二元一次方程组五、用二元一次方程组确定本函数解析式
常用公式
生活中的应用数学问题典型例题综合测试常见题型
展开 　　【读音】yī cì hán shù 　　【解释】函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。表示为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数），当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx。　现在是初二教学本里最难的一章（当然有一些人例外），应用最广泛，知识最丰富的数学课题编辑本段基本定义
　　变量：变化的量（不可取不同值） 　　常量：不会变的量（固定） 　　自变量k和X的一次函数y有如下关系： 　　1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意常数） 　　当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。 　　x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。 　　特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。 　　定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。编辑本段相关性质
　　函数性质： 　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 　　即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）， 　　∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 　　3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 　　4.在两个一次函数表达式中： 　　当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 　　当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 　　当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 　　当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 　　若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数
图像性质
　　1．作法与图形：通过如下3个步骤： 　　（1）列表. 　　（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 　　一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 　　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 　　（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 　　3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 　　4．k，b与函数图像所在象限： 　　y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 　　当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 　　y=kx+b时： 　　当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 　　当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 　　当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 　　当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限； 　　当b>0时，直线必通过第一、二象限； 　　当b<0时，直线必通过第三、四象限。 　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 　　这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 　　4、特殊位置关系： 　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） 　　） ③点斜式　y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④两点式　(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点） ⑤截距式　（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）⑥实用型 （由实际问题来做）
解析式表达局限性
　　①所需条件较多（3个点，因为使用待定系数法需要列一个三元一次方程组） 　　②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合） 　　④参数较多，计算过于烦琐； 　　⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。
倾斜角的概念
　　x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为[0, π)。编辑本段与二元一次方程的关系
　　1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数 　　y=-a/bx+c/d的图象相同. 　　(2)二元一次方程组{a1x+b1y=c1, 　　a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数 　　y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图象的交点. 　　方法小结: 　　把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图象,找出两图象的交点,即可知方程组的解.
一、区别和联系
　　区别：二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。 　　联系：（1）在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y=5有无数组解，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以这些解为坐标的点(1,3)(2,1）…都在一次函数y=－2x+5的图象上. （2）在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.如在一次函数y=－x+2的图象上任取一点（－3，3），则x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y=2的一组解. 　　所以，以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的。
二、两个本函数图象交点与方程组解的联系
　　在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点。
三、方程组无解时相应函数图象的关系
　　当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点，即两个一次函数图象平行。反过来，当两个一次函数图象平行时，相应的二元一次方程组就无解。如二元一次方程组3x-y=5，3x-y=-1无解，则一次函数y=3x－5与y=3x+1的图象平行，反之也成立。
四、用作图的方法解二元一次方程组
　　用作图的方法解二元一次方程组，一般有下列几个步骤：（1）将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；（2）在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）找出图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解。
五、用二元一次方程组确定本函数解析式
　　在实际应用中，常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解析式。 　　例：某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数。现知王芳带了30 kg的行李，买了50元行李票。李刚带了40 kg的行李，买了100元行李票。那么，乘客最多可免费携带多少千克的行李？ 　　解答：依题意，可设一次函数的解析式为y=kx+b。则可得二元一次方程组50=30k+b，100=40k+b。解得k=5，b=-100，即一次函数的解析式是y=5x－100。当x=20时，y=0。所以乘客最多可免费携带20 kg的行李。编辑本段常用公式
　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 　　5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 　　两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 　　6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2] 　　7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) 　　x y 　　+， +（正，正）在第一象限 　　- ，+ （负，正）在第二象限 　　- ，- （负，负）在第三象限 　　+ ，- （正，负）在第四象限 　　8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2 　　9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1 　　10. 　　y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位 　　y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位
一次函数的平移
口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b） 　　y=kx+b+n就是向上平移n个单位 　　y=kx+b-n就是向下平移n个单位 　　口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）相关应用
生活中的应用
　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 　　3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

Answer 2

知识点：正比例函数、一次函数的图像与性质
一、选择题
1、如图4，直线l1和l2的交点坐标为（ ）
A.(4,-2) B. (2,-4) C. (-4,2) D. (3,-1)

2、一次函数 的图象大致是（ ）

3、一次函数 的图象不经过（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
4、一次函数 不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5、如果点M在直线 上，则M点的坐标可以是（ ）
A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，－1）
6、如图，直线 对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．

8、已知反比例函数 = ( ≠0)的图象，在每一象限内， 的值随 值的增大而减少，则一次函数 =- + 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9、一次函数 的图象如图所示，当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

11、一次函数 （ 是常数， ）的图象如图2所示，
则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．

12、在平面直角坐标系中，直线 经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

13、一次函数y=kx+b中，k<0,b>0.那么它的图像不经过
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
15、已知：一次函数 的图象如图1所示，那么，a的取值范围是
A. B. C. D.

16、如图，直线y1= 与y2=-x+3相交于点A，若y1<y2，那么（ ）
A.x>2 B.x<2 C.x>1 D.x<1

二、填空题
1、已知一次函数的图象过点 与 ，则这个一次函数 随 的增大而 ．
2、直线y=2x+b经过点(1，3)，则b= _________
3、（图象经过（1，2）的正比例函数的表达式为 ．
4、已知 是 的一次函数，右表列出了部分对应值，

1 0 2

3
5
则 ．

6、如图所示的是函数 与 的图象，求方程组 的解关于原点对称的点的坐标是 ；

．
8、已知平面上四点 ， ， ， ，直线 将四边形 分成面积相等的两部分，则 的值为 ．
9、在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为 ，点Q1的坐标为 ．

10、如图，已知函数 和 的图象交点为 ，则不等式 的解集为 ．

11、如图，直线 经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组 的解集为 　．

12、直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为 ．

13、如图是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y（米）与时间x（天）之间的关系图象．根据图象提供的信息，可知该公路的长度是 米．

14、按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第2次得到的结果为12，……，请你探索第2009次得到的结果为_______________.

15、已知一次函数 ，当 时，函数 的值是 ▲ ．
16、李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式　▲　．
17、（2008年上海市）在图，将直线 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．

19、(2008年乌兰察布)如图，已知函数 和 的图像交于点 ，则根据图像可得不等式 的解集是 ．

20、（2008年福建泉州）已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过原点、第二象限与第四象限，请写出符合上述条件的k的一个值：_________。
二、选择：
1．（2009年包头）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2009年莆田）如图1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 → → → 方向运动至点 处停止．设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图2所示，则当 时，点 应运动到（ ）答案：

A． 处 B． 处 C． 处 D． 处
3．（09湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数 的图象经过（ ）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限
【关键词】平面直角坐标系的概念、一次函数图象性质
4． (2009年肇庆市)函数 的自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2009 黑龙江大兴安岭）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
7．（2009年内蒙古包头）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．(2009成都)在函数 中，自变量 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)

15．（2009肇庆）函数 的自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(2009宁夏)5．一次函数 的图象不经过（ ）B
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．(2009年陕西省)若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点【 】
A．(1，2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2)
18．（2009年台湾） 坐标平面上，点P(2,3)在直L，其中直线L的方程式为2xby=7，求b=？
(A) 1 (B) 3 (C) (D) 。
19.（2009年株洲市）一次函数 的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
20．（2009年重庆市江津区）已知一次函数 的大致图像为 （ ）

A B C D

23．（2009年广州市）下列函数中，自变量 的取值范围是 ≥3的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
24.（2009年济宁市）在函数 中，自变量x的取值范围是
A、x≠0 B、x＞3 C、x ≠ －3 D、x≠3
25．(2009年衡阳市)函数 中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2009年广州市）已知函数 ，当 =1时， 的值是________

30．（2009年湖北十堰市）函数 中自变量x的取值范围是（ ）．
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞9 D．x≥9
31．（2009年湖北十堰市）一次函数y=2x－2的图象不经过的象限是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
32．（2009年安徽）8．已知函数 的图象如图，则 的图象可能是【 】

35．(2009年河北)如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图
象应为（ ）

36.（2009年株洲市）一次函数 的图象不经过
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
37．（2009年重庆市江津区）已知一次函数 的大致图像为 （ ）

A B C D

38．（2009年兰州）函数y＝ ＋ 中自变量x的取值范围是
A．x≤2 B．x＝3 C． x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
43．（2009年哈尔滨）函数y＝ 的自变量x的取值范围是
44．（2009年牡丹江）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
47．（2009年安徽）已知函数 的图象如图，则 的图象可能是【 】

49．（2009年重庆）函数 的自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

51．（2009年衢州）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y= -x图象上的两点，则下列判断正确的是
A．y1>y2 B．y1<y2
C．当x1<x2时，y1>y2 D．当x1<x2时，y1<y2
二、填空：
1．(2009武汉)如图，直线 经过 ， 两点，则不等式 的解集为 ．

2．（2009年常德市）一个函数的图象关于 轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数． 那么在下列四个函数① ；② ；③ ；④ 中，偶函数是 　　 （填出所有偶函数的序号）．

3．（2009年桂林市、百色市）如图，是一个正比例函数的图像，把该图像
向左平移一个单位长度，得到的函数图像的
解析式为 ．

4．（2009年桂林市、百色市）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．

5．（2009 年佛山市）画出一次函数 的图象，并回答：当函数值为正时， 的取值范围是 　　　　．

7．(2009年宁德市)张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y= ．
9．（2009年漳州）已知一次函数 ，则 随 的增大而_______________（填“增大”或“减小”）．
13．（2009年湘西自治州）一次函数 的图像过坐标原点，则b的值为 ．
14．（2009年天津市）已知一次函数的图象过点 与 ，则该函数的图象与 轴交点的坐标为__________ _．
16．（2009桂林百色）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
18．已知关于 、 的一次函数 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么 的取值范围是
19. （2009仙桃）函数 中，自变量x的取值范围是__________________．
20．（2009年广西钦州）一次函数的图象过点（0，2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式：_▲_
三、解答题
5、已知直线 ： 和直线 ：： ，求两条直线 和 的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上.
36、 （2008浙江台州）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：

（1）请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：
① ；② ；③ ；④ ；
（2）如果点 的坐标为 ，那么不等式 的解集是 ．

Answer 3

Answer 4

Answer 5

呃。题呢？