矩阵的秩与特征值的个数有关吗？

Question

如题所述

Answer 1

如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。

为讨论方便，设A为m阶方阵。

证明：设方阵A的秩为n。

因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如：

1 0 … 0 … 0

0 1 … 0 … 0

…………………

0 0 … 1 … 0

0 0 … 0 … 0

…………………

0 0 … 0 … 0

扩展资料

若a是矩阵A的特征值，则其（代数）重数等于n-r((aE-A)^n)，几何重数（即特征子空间维数）等于n-r(aE-A)。

注1：r((aE-A)^n)表示aE-A的n次幂的秩；

注2：该结论可利用A的Jordan标准型得到。

矩阵A的相似对角矩阵的主对角元都是矩阵A的特征值，又因为矩阵A的秩与它的相似对角阵的秩相等，因此，如果矩阵A的秩为n，那么它就有n个非零特征值。