∫e^(- at^2) dt为什么是积分

Question

如题所述

Answer 1

首先积分只有在a>0时有意义

由于对称性：

从负无穷到正无穷对e^-at^2

=2从0到正无穷对e^-at^2

=2∫e^(-at^2)dt

[∫e^(-at^2)dt]^2

=∫e^(-ax^2)dx∫e^(-ay^2)dy

=∫∫e^(-a(x^2+y^2))dxdy

利用极坐标：

x=rcosb,y=rsinb

原积分：

=∫[0,2π]db∫[0,+∞]e^(-ar^2)rdr

=(π/a)∫[0,+∞]e^(-ar^2)d(ar^2)

=(π/a)[-e^(-ar^2)]|[0,+∞]

=π/a

所以：

∫e^(-at^2)dt=√(π/a)

从负无穷到正无穷对e^-at^2

=2√(π/a)

扩展资料：

首先我们说明一下这里使用积分的符号：

表示f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分。

首先看第一型曲线积分形式的高斯积分：

设L是一条曲线，r是这曲线一点到L外一点A(e,m)的连接向量，n是曲线这一点的法向量，(r,n)表示r与n向量的夹角，则积分为：d

高斯积分的几何意义就是：g是从点A所能看到曲线L的角的度量。

设(x,n)是x轴正方向与n的夹角，(x,r)是x轴正方向与r的夹角，则(r,n)=(x,n)-(x,r)

所以：cos(r,n)=cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)

=((x-e)cos(x,n)/|r|+(y-m)sin(x,n)/|r|

代入高斯积分：g=∫[L]((y-m)sin(x,n)/(|r|2)+(x-e)cos(x,n)/(|r|2))ds

化成第二型曲线积分：g=±∫[L]((y-m)/(|r|2)dx-(x-e)/(|r|2)dy)±表示法线n的两个方向。

此方程满足积分路径无关的条件，假如L是一条闭曲线，A在L外部，那么g=0，如果A在内部，根据挖奇点法，积分结果为2π。