求f（x）满足的微分方程

Question

f（x)=e^(ax^2)+∫e^a(x^2-t^2)f(t)dt （积分上限x 下限0） f（x）>0 且可微

Answer 1

令x=0, 可得f(0)=1

f(x)=e^(ax^2)+e^(ax^2)∫e^(-at^2)f(t)dt=e^(ax^2)[1+∫e^(-at^2)f(t)dt]
可以化为
f(x)e^(-ax^2)=1+∫e^(-at^2)f(t)dt
两边对x求导得到
f'(x)e^(-ax^2)-2axf(x)e^(-ax^2)=e^(-ax^2)f(x)
约去e^(-ax^2)
所以
f'(x)=f(x)(1+2ax)
df(x)/f(x)=(1+2ax)dx
所以
lnf(x)=x+ax^2+c
所以
f(x)=Ce^(ax^2+x)
带入f(0)=1
所以C=1
则 f(x)=e^(ax^2+x)