求下列伯努利方程的通解：

Question

求下列伯努利方程的通解：

Answer 1

（1）当y=0时，等式成立
当y≠0时，xydx+(y^4-3x^2)dy=0
y^(-7)*xydx+y^(-7)*(y^4-3x^2)dy=0

x/y^6*dx+(1/y^3-(3x^2)/y^7)dy=0
d(-1/2y^2+(x^2)/2y^6)=0
(x^2)/y^6-1/y^2=C
(x^2-y^4)/y^6=C，其中C是任意常数
所以方程的通解为(x^2-y^4)/y^6=C或y=0
（2）当y=0时，等式成立
当y≠0时，y^(-3)*xydx+y^(-3)*(y^4-x^2)dy=0
x/y^2*dx+(y-(x^2)/y^3)dy=0
d((y^2)/2+(x^2)/2y^2)=0
y^2+(x^2)/y^2=C，其中C是任意常数
所以方程的通解为y^2+(x^2)/y^2=C或y=0
（3）当y=0时，等式成立
当y≠0时，y'+y/3x=(-x/3)*y^4
y'/y^4+1/(3xy^3)=-x/3

(-1/3)*(1/y^3)'+1/(3xy^3)=-x/3
(1/y^3)'-1/(xy^3)=x
1/y^3=e^[∫(1/x)dx]*{∫xe^[∫-(1/x)dx]dx+C}
1/y^3=x^2+Cx
y^3=1/(x^2+C)
y=1/(x^2+C)^(1/3)，其中C是任意常数
所以方程的通解为y=1/(x^2+C)^(1/3)或y=0
（4）当y=0时，等式成立
当y≠0时，xydx+(y^4-2x^2)dy=0
y^(-5)*xydx+y^(-5)*(y^4-2x^2)dy=0
x/y^4*dx+(1/y-(2x^2)/y^5)dy=0
d(ln|y|+(x^2)/(2y^4))=0
ln|y|+(x^2)/(2y^4)=C，其中C是任意常数
所以方程的通解为ln|y|+(x^2)/(2y^4)=C或y=0