关于矩阵的条件数、病态方程组等，这些概念是计算数学中比较重要的概念，这里只作简单的介绍。
考虑线性方程组
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完全由它的系数矩阵A和右端向量b所确定。在求解线性方程组时，这些都作为已知数据。在实际问题中，这些数据往往由观测或通过其他计算得到的，因而必定带有误差或某种不确定性的影响，从而引起解的误差或解的不确定性，因而有必要对线性方程组的性态进行研究。
先假定系统矩阵A非奇异，是精确的，而右端向量b有误差，假设它可以表示为b＋δb，并且同时假设解的误差为δx，则有
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显然，Aδx＝δb，所以，δx＝A－1δb，从而有
‖δx‖≤‖A－1‖·‖δb‖
又由原方程（3－11）式有
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因此
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假定b≠0，因而x≠0，我们有
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如果假定b是精确的，而A有微小误差（扰动），表示为A＋δA，并且相应的解为x＋δx，此时
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假定A＋δA非奇异，则
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因为原式x＝A－1b，所以
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最后得到
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从式（3－15）和式（3－19）可以看到，线性方程组解的相对误差与观测数据相对误差之间的关系可以由‖A－1‖·‖A‖来确定。我们给‖A－1‖·‖A‖一个名称，即对非奇异矩阵A，称‖A－1‖·‖A‖为矩阵A的条件数，记作cond（A）。
矩阵条件数与所取的矩阵范数有关，最常用的是最大范数‖A‖∞和谱范数‖A‖2，相应的条件有
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和
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当A为对称矩阵时，其谱条件数为
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其中：λ1，λn为矩阵ATA的绝对值最大和绝对值最小的特征值。
条件数具有如下性质：
（1）任何非奇异矩阵A，都有cond（A）≥1，cond（A）＝‖A‖·‖A－1‖≥‖A－1 A‖＝1；
（2）设A为非奇异阵，并且c≠0（常数），则cond（cA）＝cond（A）；
（3）如果A为正交矩阵，则cond（A）2＝1；
（4）若A为非奇异矩阵，R为正交矩阵，则cond（RA）2＝cond（AR）2＝cond（A）2。
由式（3－15）和式（3－19）可知，若cond（A）不太大，则数据误差对解的影响不大。反之，若cond（A）很大，则数据误差对解的影响很大。若线性方程组系数矩阵A的条件数cond（A）相对很大，我们就称A（对求解线性方程组而言）是“病态”的，并且称A是“病态”矩阵，或者说A是坏条件的。矩阵“病态”性质是矩阵本身的特性。A条件数越大，病态程度越严重，也就是越难得到方程组比较准确的解。反之，则称A是“良态”的。
［例］计算 的各种和范数和条件数。
解：根据定义可算出‖A‖1＝6，‖A‖∞＝7， 5.477，
但计算‖A‖2时，要求出ATA的特征值λ1，λ2。在线性代数里，求使方程
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或（Q－λI）x＝0具有非零解的特征值λ，只需对特征多项式求根，即求解特征方程
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本例中
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其特征方程为
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即
（10－λ）（20－λ）－14×14＝0
经展开，得
λ2－30λ＋200－196＝0
或者
λ2－30λ＋4＝0
解此二次方程得
λ1＝15＋14.866＝29.866
λ2＝15－14.866＝0.144
故
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从而
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这里简单介绍特征值的几何意义，对2阶矩阵 它是通过点Q1（10，－14）和点Q2（－14，－20）的一个椭圆，其长半轴就是特征值λ1＝29.866，短半轴是特征值λ2＝0.144，两个特征值之比就描述了这个椭圆的奇异度。对3阶矩阵，就是一个椭球，对n阶矩阵就是一个所谓超椭球，它的最大、最小半轴之比就表明这个超椭球的奇异度。关于计算n阶矩阵的特征值和特征向量的方法有幂法和反幂法，雅可比法、豪斯荷尔德法和QR法等，可参考有关书籍。