立体几何题如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,不要用坐标方式做出，感谢

Question

立体几何题如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,不要用坐标方式做出，感谢如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=4,AD=2,PD⊥面ABCD,直线PA与直线BC所成角大小为60°,求直线PB与直线AC所成角大小。

Answer 1

令AC∩BD＝O、取PA的中点为E。
∵ABCD是矩形，∴O是AC和BD的中点，又E是PA的中点，∴EO∥PB，
∴∠AOE＝PB与AC所成的角。
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD。
∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PAD＝PA和BC所成的角＝60°，又PD⊥AD，
∴PD＝√3AD＝2√3，∴ED＝√3，∴AE＝√（AD^2＋ED^2）＝√（4＋3）＝√7。
∵ABCD是矩形，且AD＝2、AB＝4，
∴AO＝DO＝（1/2）√（AD^2＋AB^2）＝（1/2）√（4＋16）＝√5。
∵PD⊥平面ABCD，∴ED⊥DO，∴EO＝√（ED^2＋DO^2）＝√（3＋5）＝2√2。
由余弦定理，有：
cos∠AOE＝（AO^2＋EO^2－AE^2）/（2AO·EO）＝（5＋8－7）/（2×√5×2√2）＝3√10/20。
∴∠AOE＝arccos（3√10/20）。
∴PB和AC所成角的大小为arccos（3√10/20）。