如何计算从一到n+1和平方的和？

Question

如题所述

Answer 1

x1加到xn的和的平方展开式如下：
（x1+x2+...+xn）2=（x1+x2+...+xn）×（x1+x2+...+xn）= x1×（x1+x2+...+xn）+x2×（x1+x2+...+xn）+ ...+xn×（x1+x2+...+xn）= x12+x22 +...+ xn2+2×（x1×x2+x1×x3+...+x1×xn+x2×x3+...+x2×xn+...+xn-1×xn）该展开式的最后一项是所有两个不同的数之间的乘积之和，因此可以简写为以下形式：
= x12+x22+...+xn2+2×∑（xi×xj）。
和平方，是数学公式的一种，它属于乘法公式及因式分解，现时经常使用。和平方是指两个数目的总和的平方。

Answer 2

利用平方和公式
1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明如下：
证法一　（归纳猜想法）：
1、N=1时，1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时，1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+…+x²=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时，
1+4+9+…+x²+(x+1)²=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)²
=(x+1)[2(x²)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x²)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述，平方和公式1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
证法二　(利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1） ：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1，
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
..............................
3³-2³=3×(2²)+3×2+1
2³-1³=3×(1²)+3×1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+…+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+…+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+…+n²)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6