从1开始到n连续自然数平方求和公式:n(n+1)(2n+1)/6。
用数学归纳法:
n=1时,1=1*2*3/6=1成立
假设n=k时也成立,那么k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²
那么n=k+1
1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6
k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)
=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)
所以1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6
=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6
即n=k+1时,也成立;
所以:1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。
应用
1、自然数列在“数列”,有着最广泛的运用,因为所有的数列中,各项的序号都组成自然数列。
任何数列的通项公式都可以看作:数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。
2、求n条射线可以组成多少个角时,应用了自然数列的前n项和公式。
第1条射线和其它射线组成(n-1)个角,第2条射线跟余下的其它射线组成(n-2)个角,依此类推得到式子。1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2。
3、求直线上有n个点,组成多少条线段时,也应用了自然数列的前n项和公式。
第1个点和其它点组成(n-1)条线段,第2个点跟余下的其它点组成(n-2)条线段,依此类推同样可以得到式子。1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2。