等差数列求和公式的推导

Question

如题所述

Answer 1

等差数列是数学中的重要概念，求和公式是等差数列的重要应用之一。本文将从等差数列的定义开始，逐步推导出求和公式，帮助读者更好地理解这个概念。
🔢等差数列的定义
等差数列是指一个数列中，任意两个相邻的数之差都相等的数列。例如，1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
🔍逐步推导a2和a3的值
已知a1=2，a（n+1）=an+cn，我们可以逐步推导a2和a3的值。首先，a2=a1+c=2+c，接着，a3=a2+2c=2+3c。因为a1、a2和a3形成一个公比不为1的等比数列，所以有a1*a3=a2^2。代入已知值，得到2*（2+3c）=（2+c）^2。解这个方程，我们可以得到c=2。
📈求和公式的推导
根据（1）的结论，我们知道a（n+1）=an+2n。进一步推导，我们可以得到an=a（n-1）+2n。这样，从a2=a1+2开始，一直加到an，左右两边相消，最后我们可以得到an的通项公式：an=2^n。将这个公式代入等差数列的求和公式，我们可以得到Sn=n(a1+an)/2=2^(n+1)-2。