跪求大佬解答这道概率论题的解题过程！

Question

某城市有三条地铁线，各条线路独立运行，三条线每月发生故障的次数分别服从参数为1.2,3的泊松分布，则本月该城市地铁发生故障次数的期组望为？ 某月该城市发生故障为3次的概率为？
答案为6和36*(e的-6次方)，求解题过程！

Answer 1

设X、Y、Z分别表示某三条地铁线发生事故的次数，T=X+Y+Z该城市地铁发生事故的次数。
由题设条件有，P(X=k)=(1/e)/(k!)，P(Y=k)=(1/e²)(2^k)/(k!)，P(Z=k)=(1/e³)(3^k)/(k!)，k=0,1,2,…。
而，E(X)=1，E(Y)=2，E(Z)=3，∴地铁发生故障的期望值E(T)=E(X+Y+Z)=6。
该城市发生故障3次是“X=0、1、2、3”与“Y=0、1、2、3”和“Z=0、1、2、3”的可能组合。
∴发生3次事故的概率p=P(X+Y+Z=3)。
又，X=0时，(Y,Z)的可能组合有(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)。此时，发生的概率p1=P(X=0)*[P(Y=0)*P(Z=3)+P(Y=1)*P(Z=2)+…+P(Y=3)*P(Z=0)]=(125/6)/e^6。
同理，X=1时，概率p2=(25/2)/e^6；X=2时，概率p3=(5/2)/3^6；X=3时，p4=(1/6)/e^6。
∴p=(p1)+(p2)+(p3)+(p4)=36/e^6。