证明 :上面的等式是以u为未知函数的一阶线性偏微分方程,一般情况下,通过方程(1)来求积分因子,得到方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的解,与求解M(x+y)dx+N(x+y)dy=0本身同样困难,但是在某些特殊的情况中,也可以方便的解出(1)的一个解u,例如,如果方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0存在一个只于x有关的积分因子u=u(x)时,则du/dy=0,于是(1)式变化为:
1/u *du/dx =(dM/dy-dN/dx)/N.(2)
由此可知,方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的必要条件是(2)式右边不含y 即:
M(x+y)dx+N(x+y)dy恒等于u(x).(3)
其中u(x)是x的函数,反之,若(3)成立,则以u(x)代入(2)中,得到:
du/u =u(x)dx
于是求得 u(x)=e^(u(x)的积分)
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