利用矩阵的初等变换求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组,并把不属于最大无关组线性表示：（1 0

Question

利用矩阵的初等变换求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组,并把不属于最大无关组线性表示：（1 0 2 1, 1 2 0 1,2 1 3 0, 2 5 -1 4, 1 -1 3 -1）
并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示

Answer 1

证明 ：上面的等式是以u为未知函数的一阶线性偏微分方程,一般情况下,通过方程（1）来求积分因子,得到方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的解,与求解M(x+y)dx+N(x+y)dy=0本身同样困难,但是在某些特殊的情况中,也可以方便的解出（1）的一个解u,例如,如果方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0存在一个只于x有关的积分因子u=u（x）时,则du/dy=0,于是（1）式变化为：
1/u *du/dx =(dM/dy-dN/dx)/N.（2）
由此可知,方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的必要条件是（2）式右边不含y 即：
M(x+y)dx+N(x+y)dy恒等于u（x）.（3）
其中u（x）是x的函数,反之,若（3）成立,则以u（x）代入（2）中,得到：
du/u =u(x)dx
于是求得 u（x）=e^(u(x)的积分)